Physique de la matière condensée

Gaz d’électrons libres et niveau de Fermi

Le modèle des électrons libres traite les électrons de conduction comme un gaz de fermions dans un grand volume régi par Fermi–Dirac. Le remplissage à T=0 détermine surface et énergie de Fermi, ainsi que la pression de dégénérescence.

Dans le modèle le plus simple, on néglige potentiel ionique, interactions électroniques et diffusion, et l’on traite les électrons comme libres dans une boîte. Malgré ces simplifications, il estime les échelles de Fermi et explique la faible capacité thermique électronique des métaux.

Comptage des états

Dans un volume V avec deux états de spin, le nombre d’états dans la sphère de rayon kF vaut N=VkF³/(3π²). Poser n=N/V donne la formule précédente. La dégénérescence de spin 2 est incluse ; l’omettre fausse fortement la densité.

Pour une dispersion parabolique 3D, la densité d’états croît comme la racine carrée de l’énergie. Seule une couche d’épaisseur de l’ordre de kBT autour de EF change d’occupation avec la température, les états profondément sous EF étant déjà remplis.

Vérification rapide

La sphère de Fermi résulte du remplissage des vecteurs d’onde jusqu’à kF, en comptant les deux spins. À T=0, la pression quantique n’est pas thermique : l’exclusion de Pauli impose que la compression augmente kF et l’énergie totale. Pour un gaz d’électrons libres tridimensionnel, la densité d’énergie vaut 3nEF/5 et la pression 2nEF/5. Les interactions coulombiennes ou le réseau exigent un modèle plus complet.

Dans les métaux réels, la surface de Fermi n’est généralement pas sphérique : le potentiel périodique déforme les bandes et peut créer plusieurs poches d’électrons ou de trous. Les oscillations de de Haas–van Alphen sous champ magnétique révèlent ses sections extrémales. Le gaz libre fournit donc une intuition initiale, tandis que structure de bandes et masse effective déterminent quantitativement le transport.