Mécanique quantique

Moment cinétique et spin

L'algèbre du moment cinétique quantique détermine les résultats de mesure ; Stern–Gerlach révèle la quantification et le couplage des moments.

Le moment cinétique orbital $\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p$ et le spin intrinsèque $\mathbf S$ obéissent à la même algèbre de commutation. Le moment total $\mathbf J=\mathbf L+\mathbf S$ gouverne les quantités conservées et la structure atomique.

[J_i,J_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}J_k,\quad J^2= j(j+1)\hbar^2,\quad J_z=m\hbar

Définition: Valeurs quantifiées

Pour $j=0,1/2,1,\ldots$ , la composante $J_z$ prend les valeurs $m\hbar$ , avec $m=-j,-j+1,\ldots,j$ . Comme $[J_x,J_y]=i\hbar J_z$ , deux composantes différentes ne peuvent généralement être définies simultanément.

Réglez la direction du spin et l'axe d'analyse pour étudier les probabilités des deux branches.

Moment total et couplage

Le couplage de $j_1,j_2$ autorise $j=|j_1-j_2|,\ldots,j_1+j_2$ . Pour un électron de spin $1/2$ , l'interaction spin-orbite sépare les niveaux $j=l\pm1/2$ si $l>0$ .

Exemple: Exemple : taches d'un faisceau de spin 1/2

Un faisceau d'atomes d'argent traversant un aimant à gradient selon z forme deux taches, associées à $m_s=+1/2$ et $-1/2$ . Une entrée polarisée selon z sélectionne une branche ; une polarisation selon x donne des probabilités égales.

Solution

Comme $|+x\rangle=(|+z\rangle+|-z\rangle)/\sqrt2$ , chaque résultat de mesure de $S_z$ a une probabilité $1/2$ .

Les opérateurs de moment cinétique vérifient $[L_i,L_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}L_k$ ; toutes les composantes ne peuvent donc être simultanément bien définies. On spécifie souvent $L^2$ et $L_z$ , de valeurs propres $\hbar^2l(l+1)$ et $\hbar m$ , avec $m=-l,\ldots,l$ . Le spin suit la même algèbre sans être un mouvement orbital ; pour le spin 1/2, $S^2=3\hbar^2/4$ et $S_z=\pm\hbar/2$ . La composition de deux moments autorise $j$ de $|j_1-j_2|$ à $j_1+j_2$ par pas entiers, utile pour les spectres atomiques et le couplage spin-orbite.

Vérification rapide

Combien de valeurs de m peut prendre J_z pour le spin j ?

Pour j=1/2, quelles valeurs prend m dans J_z ?

Références

J. J. Sakurai, Jim Napolitano (2020). Modern Quantum Mechanics