Mécanique quantique

Systèmes à plusieurs corps et particules identiques

La symétrie d'échange fait partie de l'état à plusieurs particules : les bosons ont une fonction d'onde symétrique, les fermions une fonction antisymétrique, d'où le principe de Pauli.

Les particules identiques ne possèdent pas d'étiquettes individuelles physiquement signifiantes. L'échange de deux particules ne change l'état qu'au plus par une phase ; en trois dimensions, les cas usuels sont $+1$ pour les bosons et $-1$ pour les fermions.

\Psi_{B}(1,2)=+\Psi_{B}(2,1),\qquad \Psi_{F}(1,2)=-\Psi_{F}(2,1)

Définition: État de deux fermions

Pour deux spin-orbitales orthonormées $a,b$ , l'état fermionique normalisé est le déterminant de Slater $|a,b\rangle_F=(|a(1)b(2)\rangle-|b(1)a(2)\rangle)/\sqrt2$ . Si $a=b$ , il s'annule : deux fermions ne peuvent occuper la même spin-orbitale. Deux électrons de spins opposés peuvent partager une orbitale spatiale.

Comparez les densités de probabilité bosonique et fermionique lorsque deux paquets se rapprochent ; le nœud antisymétrique apparaît.

Bosons, fermions et systèmes à plusieurs corps

La symétrie d'échange porte sur les coordonnées et le spin ensemble. Pour deux électrons, l'état total est antisymétrique : le singulet de spin antisymétrique s'associe à un état spatial symétrique, le triplet symétrique à un état spatial antisymétrique. Les nombres d'occupation et opérateurs de création-annihilation sont usuels.

Exemple: Exemple : état fondamental de l'hélium

Dans l'approximation des particules indépendantes, les deux électrons de l'hélium partagent l'orbitale spatiale $1s$ . Pour rendre l'état total antisymétrique, leur spin est le singulet $S=0$ : $(|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle)/\sqrt2$ .

Solution

La partie spatiale étant symétrique par échange, la partie de spin doit être antisymétrique pour que le produit change de signe.

Pour des particules en interaction, le Hamiltonien combine généralement l'énergie cinétique individuelle et des potentiels par paires $V(\mathbf r_i-\mathbf r_j)$ . L'état fondamental ne se factorise pas nécessairement en états indépendants : les corrélations produisent des observables non déterminées par la seule densité à une particule. En champ moyen, chaque particule se déplace dans un potentiel effectif créé par les autres ; les corrélations résiduelles demandent d'autres méthodes. Pour les fermions, l'antisymétrie engendre une pression de dégénérescence même à basse température. Ces concepts relient mécanique quantique, matière condensée, atomes froids et physique nucléaire.

Vérification rapide

Quelle propriété d’échange possède la fonction d’onde de deux fermions identiques ?

Quand deux électrons peuvent-ils partager une orbitale spatiale ?

Références

J. J. Sakurai, Jim Napolitano (2020). Modern Quantum Mechanics