Physic Labs

Mécanique quantique

Spin et principe d'exclusion de Pauli

Le spin est un moment cinétique quantique intrinsèque ; le principe de Pauli relie l'antisymétrie des fermions à l'impossibilité d'occuper un même état quantique.

Outre sa position et son mouvement, une particule quantique possède le spin, degré de liberté intrinsèque mesuré comme un moment cinétique. Pour l'électron, une mesure selon un axe donne deux résultats, même si l'état initial est une superposition.

S2=s(s+1)ℏ2,Sz∣s,m⟩=mℏ∣s,m⟩S^2=s(s+1)\hbar^2,\qquad S_z|s,m\rangle=m\hbar|s,m\rangle

Définition: Spin 1/2 et états de spin

L'électron a s=1/2s=1/2. Dans la base propre de SzS_z, un état normalisé s'écrit ∣ψ⟩=α∣+z⟩+β∣−z⟩|\psi\rangle=\alpha|+z\rangle+\beta|-z\rangle, avec ∣α∣2+∣β∣2=1|\alpha|^2+|\beta|^2=1. Les probabilités des deux résultats sont ∣α∣2|\alpha|^2 et ∣β∣2|\beta|^2.

Faites tourner le vecteur d'état sur la sphère de Bloch, puis observez la séparation du faisceau par un champ inhomogène selon les probabilités de Born.

La sphère de Bloch : un état est une direction

À une phase globale près, tout état pur de spin 1/2 correspond à un point de la sphère unité ; dans un champ magnétique, sa direction précesse à la fréquence de Larmor.

P(+n)=1+r⋅n2,P(−n)=1−P(+n)P(+\mathbf n)=\frac{1+\mathbf r\cdot\mathbf n}{2},\qquad P(-\mathbf n)=1-P(+\mathbf n)

Mesure du spin et statistiques

Un analyseur de Stern–Gerlach idéal exploite un gradient de champ : la force dépend de la composante du spin selon l'axe de mesure. Chaque particule suit une branche ; un ensemble se répartit selon les probabilités. Pour un axe perpendiculaire à l'axe de préparation, les probabilités sont égales.

Exemple: Exemple : mesure selon un axe incliné

Préparez ∣+z⟩|+z\rangle, puis mesurez selon un axe incliné de 60∘60^\circ par rapport à zz. On obtient P(+)=3/4P(+)=3/4 et P(−)=1/4P(-)=1/4. Ce sont les fréquences attendues après répétition, pas des résultats fractionnaires pour une particule.

Solution

La règle de Born donne P(+)=∣⟨+n∣+z⟩∣2=(1+cos⁡θ)/2=3/4P(+)=|\langle +\mathbf n|+z\rangle|^2=(1+\cos\theta)/2=3/4.

Un état de spin général s'écrit ∣χ⟩=α∣+z⟩+β∣−z⟩|\chi\rangle=\alpha|+z\rangle+\beta|-z\rangle, avec ∣α∣2+∣β∣2=1|\alpha|^2+|\beta|^2=1. Une mesure selon zz donne ±ℏ/2\pm\hbar/2 avec les probabilités ∣α∣2,∣β∣2|\alpha|^2,|\beta|^2. La phase relative n'affecte pas cette mesure, mais intervient dans l'interférence selon un autre axe. Pour plusieurs électrons, l'exclusion de Pauli porte sur l'état complet, position et spin ; l'antisymétrisation explique la structure en couches atomiques.

Vérification rapide

Quelles sont les deux valeurs possibles de S_z pour un spin 1/2 ?

Si l’axe de mesure suit la polarisation, quelle est la probabilité du résultat positif ?

Références

  1. David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics