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Mécanique quantique

Formalisme de Dirac : états quantiques et systèmes à deux niveaux

La notation bra-ket décrit les états et les mesures de façon concise ; un système à deux niveaux révèle l'évolution cohérente et les oscillations de Rabi.

En notation de Dirac, le ket ∣ψ⟩|\psi\rangle est un vecteur d'état, le bra ⟨ψ∣\langle\psi| son dual et ⟨ϕ∣ψ⟩\langle\phi|\psi\rangle une amplitude de probabilité. Cette notation convient aux fonctions d'onde comme aux vecteurs de dimension finie.

iℏddt∣ψ(t)⟩=H∣ψ(t)⟩,P(a)=∣⟨a∣ψ⟩∣2i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle,\qquad P(a)=|\langle a|\psi\rangle|^2

Définition: Système à deux niveaux

Un système à deux niveaux a pour base ∣0⟩,∣1⟩|0\rangle,|1\rangle. Sous le Hamiltonien résonant H=ℏΩσx/2H=\hbar\Omega\sigma_x/2, l'état initial ∣0⟩|0\rangle devient cos⁡(Ωt/2)∣0⟩−isin⁡(Ωt/2)∣1⟩\cos(\Omega t/2)|0\rangle-i\sin(\Omega t/2)|1\rangle ; la probabilité de trouver ∣1⟩|1\rangle vaut sin⁡2(Ωt/2)\sin^2(\Omega t/2).

Faites varier le couplage et le désaccord pour observer la probabilité de transition au cours du temps.

Représentation matricielle

Dans la base ∣0⟩,∣1⟩|0\rangle,|1\rangle, un ket est une colonne à deux composantes et un opérateur une matrice. Un Hamiltonien usuel est H=ℏ(Δσz+Ωσx)/2H=\hbar(\Delta\sigma_z+\Omega\sigma_x)/2. Le désaccord Δ\Delta incline l'axe de rotation ; la fréquence de Rabi généralisée vaut ΩR=Ω2+Δ2\Omega_R=\sqrt{\Omega^2+\Delta^2}.

Exemple: Exemple : probabilité de transition

À résonance, pour t=π/(2Ω)t=\pi/(2\Omega), un état initial ∣0⟩|0\rangle a une probabilité 1/21/2 d'être dans ∣1⟩|1\rangle. Une impulsion de durée t=π/Ωt=\pi/\Omega le transfère entièrement vers ∣1⟩|1\rangle.

Solution

En remplaçant Ωt/2\Omega t/2 par π/4\pi/4 dans P1=sin⁡2(Ωt/2)P_1=\sin^2(\Omega t/2), on obtient P1=1/2P_1=1/2.

Dans le formalisme de Dirac, les états sont des vecteurs d'un espace de Hilbert et les observables des opérateurs hermitiens. Pour ∣ψ⟩|\psi\rangle normalisé, la moyenne vaut ⟨A⟩=⟨ψ∣A∣ψ⟩\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle ; le développement dans la base propre de AA donne les probabilités. Les produits tensoriels décrivent les systèmes composés, tandis que les matrices densité traitent les états mixtes ou les sous-systèmes. La notation bra-ket est concise, mais l'ordre des opérateurs importe car ils ne commutent généralement pas.

Vérification rapide

À résonance sous H=ℏΩσx/2, comment varie la probabilité de transition ?

Quelle durée d’impulsion résonante transfère complètement l’état vers l’autre niveau ?

Références

  1. David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics