Mécanique newtonienne

Le plan incliné

La décomposition du poids parallèlement et perpendiculairement à un plan éclaire le mouvement et le frottement.

Un plan incliné est une machine simple : il demande moins de force pour élever un objet qu'un levage vertical, mais sur une plus grande distance. Pour étudier le glissement, on décompose le poids selon les directions liées au plan.

P_{\parallel}=mg\sin\theta,\qquad N=mg\cos\theta

Définition: Composantes du poids

Pour un plan incliné d'angle $\theta$ avec l'horizontale, le poids $mg$ possède une composante descendante $mg\sin\theta$ et une composante normale $mg\cos\theta$ . Sans accélération normale au plan, la réaction vaut $N=mg\cos\theta$ . Le frottement éventuel agit le long du plan.

Réglez l'angle, la masse et le frottement ; suivez les composantes du poids, la réaction et l'accélération.

Mouvement le long du plan

Sans frottement, la deuxième loi de Newton le long du plan donne $a=g\sin\theta$ vers le bas. Avec un coefficient cinétique $\mu_k$ , un bloc qui glisse vers le bas a $a=g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)$ ; cette formule suppose ce sens de glissement. Le frottement statique peut retenir le bloc si la composante descendante ne dépasse pas son maximum.

Exemple: Accélération sans frottement

Un bloc glisse sans frottement sur un plan à $30^\circ$ . Prenez $g=9,8\,m/s^2$ . Calculez son accélération.

Solution

$a=g\sin30^\circ=9,8\times0,5=4,9\,m/s^2$ , vers le bas du plan.

Sur une pente de 30°, une caisse de 4 kg subit une composante du poids vers le bas de $mgsin30°=20 N$ avec $g=10 m/s²$ ; la réaction normale vaut $mgcos30°≈34,6 N$ . Sans frottement, son accélération est 5 m/s², indépendante de sa masse. La rampe échange une force de levage plus faible contre une distance plus grande ; elle ne supprime pas le travail nécessaire pour élever la charge.

Exemple: Forces sur une rampe

Un bloc glisse sans frottement sur une pente de 30°. Avec g=10 m/s², calculez son accélération.

Solution

a=g sin30°=10×0,5=5 m/s² vers le bas de la pente.

Pour déterminer le sens du frottement, identifiez d’abord le mouvement relatif réel ou imminent le long du plan. La composante normale du poids contribue à la pression de contact, tandis que la composante parallèle tend à faire glisser l’objet vers le bas. On retrouve ces effets sur les rampes de chargement et les toboggans.

Vérification rapide

Quelle est la composante du poids parallèle à un plan incliné d'angle θ avec l'horizontale ?

Sans accélération normale au plan, quelle est la réaction N ?

Références

Young, Freedman (2019). University Physics