Mécanique quantique

Théorie des perturbations quantiques

La théorie des perturbations estime les décalages des niveaux d'énergie et des états propres lorsque le Hamiltonien est proche d'un problème soluble.

De nombreux Hamiltoniens réalistes ne sont pas exactement solubles. On écrit $H=H_0+\lambda V$ , avec le spectre de $H_0$ connu et une petite correction $V$ . Un développement en le paramètre sans dimension $\lambda$ est contrôlé si les niveaux sont non dégénérés et la perturbation faible.

E_n=E_n^{(0)}+\lambda\langle n|V|n\rangle+\lambda^2\sum_{m\ne n}\frac{|\langle m|V|n\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}+O(\lambda^3)

Définition: Correction du premier ordre

Pour un niveau non dégénéré $|n\rangle$ , le décalage d'énergie au premier ordre est $\Delta E_n^{(1)}=\lambda\langle n|V|n\rangle$ . L'état propre change aussi ; le mélange avec $|m\rangle$ est proportionnel à $\langle m|V|n\rangle/(E_n^{(0)}-E_m^{(0)})$ . Un petit dénominateur impose de traiter la dégénérescence ou de changer de méthode.

Suivez le spectre d'un système à deux états lorsque le couplage perturbatif augmente.

Dégénérescence et spectres d'énergie

Si plusieurs états ont la même énergie non perturbée, il faut d'abord diagonaliser $V$ dans le sous-espace dégénéré. Deux niveaux séparés de $\delta$ et couplés par $g$ se séparent de $2\sqrt{(\delta/2)^2+|g|^2}$ ; à résonance, l'écart vaut $2|g|$ .

Exemple: Exemple : décalage dans une boîte

Dans un puits infini, une perturbation constante $V(x)=V_0$ a pour valeur moyenne $V_0$ . Au premier ordre, tous les niveaux se décalent de $\lambda V_0$ et leurs espacements restent inchangés.

Solution

Avec $\Delta E_n^{(1)}=\lambda\langle n|V_0|n\rangle$ et $\langle n|n\rangle=1$ , on trouve $\Delta E_n^{(1)}=\lambda V_0$ .

Au premier ordre, le décalage d'énergie non dégénéré vaut $E_n^{(1)}=\langle n|V|n\rangle$ . Au second ordre, les autres états contribuent par $E_n^{(2)}=\sum_{m\ne n}|V_{mn}|^2/(E_n^{(0)}-E_m^{(0)})$ . Le dénominateur explique pourquoi une faible perturbation peut avoir un grand effet près d'une dégénérescence ; on diagonalise alors d'abord $V$ dans le sous-espace dégénéré. La correction d'état contient aussi un mélange au premier ordre. Ces formules supposent une perturbation faible et un état isolé ; le spectre continu exige une autre prudence de normalisation.

Vérification rapide

Pour un niveau non dégénéré, quel est le décalage d’énergie au premier ordre ?

Comment traiter la perturbation d’un niveau dégénéré ?

Références

David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics