Mécanique quantique

Diffusion quantique

La diffusion relie une onde incidente à la distribution angulaire des amplitudes sortantes ; l'équation de Schrödinger et l'approximation de Born prédisent l'effet du potentiel.

En diffusion élastique, une particule d'énergie asymptotique fixée rencontre un potentiel $V(r)$ puis est détectée dans une direction sortante. L'observable principale est la section efficace différentielle $d\sigma/d\Omega$ , non une trajectoire classique individuelle.

\psi(\mathbf r)\underset{r\to\infty}{\sim}e^{ikz}+f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r},\qquad\frac{d\sigma}{d\Omega}=|f(\theta)|^2

Définition: Paquets d'onde et sections efficaces

Un paquet d'onde possède une dispersion en impulsion finie et modélise mieux un faisceau qu'une onde plane idéale. Son centre approche la région de diffusion ; l'amplitude déviée forme une distribution lointaine. La section efficace, de dimension aire, exprime la probabilité par flux incident et angle solide.

Réglez le paquet et le potentiel de Yukawa/Coulomb pour examiner densité, interférences et directions de diffusion.

L'approximation de Born

Si le potentiel est faible devant l'énergie cinétique, on peut remplacer l'onde diffusée exacte par l'onde incidente dans l'intégrale de Lippmann-Schwinger. L'amplitude de Born au premier ordre est proportionnelle à la transformée de Fourier de $V$ au transfert $\mathbf q=\mathbf k_f-\mathbf k_i$ . L'approximation peut échouer à basse énergie, pour un potentiel fort ou près d'une résonance.

Exemple: Exemple : diffusion coulombienne

Le potentiel coulombien non écranté est de longue portée et la section de Rutherford est très concentrée vers l'avant. Le potentiel de Yukawa $V(r)\propto e^{-r/a}/r$ introduit une longueur d'écran $a$ et une portée effective finie ; augmenter $a$ renforce la diffusion aux petits angles.

Solution

Le facteur $e^{-r/a}$ atténue l'interaction aux distances bien supérieures à $a$ ; la limite $a\to\infty$ restitue le potentiel coulombien non écranté.

Pour une diffusion élastique par un potentiel central, l'amplitude se développe en ondes partielles : $f(\theta)=\sum_l(2l+1)f_lP_l(\cos\theta)$ . Chaque canal possède un déphasage $\delta_l$ ; pour un potentiel réel, $f_l=e^{i\delta_l}\sin\delta_l/k$ . La section efficace totale somme les contributions des canaux, exprimant la conservation de probabilité via l'unitarité de la matrice S. À basse énergie, les grands moments cinétiques sont généralement supprimés par la barrière centrifuge, et l'onde s peut dominer. La dépendance en énergie révèle longueurs de diffusion et résonances.

Vérification rapide

En diffusion, à quelle grandeur la section efficace différentielle est-elle proportionnelle ?

Qu’est-ce qui distingue le potentiel de Yukawa du potentiel coulombien non écranté ?

Références

Eugen Merzbacher (1998). Quantum Mechanics