Physique des particules

Quantification du champ scalaire

La quantification d’un champ scalaire transforme chaque mode de Fourier en oscillateur quantique ; les particules sont des excitations du champ et le vide comporte des fluctuations du point zéro。

Le champ réel φ(x) associe une observable à chaque point de l’espace-temps. Dans la théorie libre, ses modes de quantité de mouvement forment une infinité d’oscillateurs de fréquence ωₖ=√(k²+m²), quantifiés par des opérateurs de création et d’annihilation.

\mathcal{L}=\frac12\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi-\frac12m^2\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4

Définition: Définition et signification physique

Le champ vérifie [φ(t,x),π(t,y)]=iδ³(x−y), avec ℏ=c=1. Pour un champ réel, particule et antiparticule sont identiques ; a†ₖ agissant sur le vide crée un quantum de quantité de mouvement k.

Réglez les paramètres et faites glisser la figure ; les valeurs illustrent quantitativement les hypothèses affichées.

Structure et interprétation

L’interaction λφ⁴ permet aux quanta de diffuser, d’être créés ou annihilés aux sommets à quatre branches. Le facteur 1/4! fixe le sommet à −iλ ; les interactions se traitent par méthodes perturbatives ou non perturbatives.

Exemple: Exemple quantitatif

Dans le vide libre, un état à une particule est |k⟩=a†ₖ|0⟩. L’opérateur nombre Nₖ=a†ₖaₖ vérifie Nₖ|k⟩=|k⟩, et l’énergie du mode vaut ωₖ(Nₖ+1/2).

Solution

L’état contient exactement un quantum dans le mode k, au-dessus de l’énergie du point zéro ωₖ/2. La somme totale diverge formellement et doit être régularisée en théorie des champs.

Pour contrôler la normalisation, plaçons le champ dans une boîte de volume fini et remplaçons l’intégrale en impulsion par une somme discrète. Chaque mode possède l’opérateur nombre $N_{\mathbf k}$ et l’énergie $\omega_{\mathbf k}(N_{\mathbf k}+1/2)$ . À volume infini, les modes deviennent continus ; les observables doivent donc être définies de façon à rester finies.

L'opérateur de champ en chaque point s'obtient en sommant les modes à une particule avec une normalisation invariante de Lorentz. Les champs en des points différents ne commutent pas toujours ; pour des points séparés de genre espace, $[\phi(x),\phi(y)]=0$ empêche la propagation de signaux plus vite que la lumière. C'est une condition centrale de causalité en théorie quantique relativiste des champs. Elle distingue les mesures locales des corrélations non locales, qui ne permettent pas de communication contrôlable plus rapide que la lumière, et relie l'algèbre locale des champs aux limites relativistes de l'influence causale.

Vérification rapide

Quel opérateur crée une particule de quantité de mouvement k ?

Quel est le commutateur canonique pour ℏ=c=1 ?

Références

Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder (1995). An Introduction to Quantum Field Theory
Steven Weinberg (1995). The Quantum Theory of Fields, Volume I