Physique des particules

Le champ de Dirac et les fermions

Le champ de Dirac quantifié décrit les particules de spin 1/2 et leurs antiparticules ; les anticommutateurs imposent la statistique de Fermi-Dirac et le principe d’exclusion de Pauli.

En 3+1 dimensions, le spineur de Dirac ψ a quatre composantes décrivant deux états de spin pour particule et antiparticule. L’équation de Dirac combine dynamique quantique et covariance de Lorentz ; ses modes de fréquences positives et négatives deviennent champs de particules et d’antiparticules.

(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi=0,\qquad \{b_r(\mathbf p),b_s^\dagger(\mathbf q)\}=(2\pi)^3\delta_{rs}\delta^3(\mathbf p-\mathbf q)

Définition: Définition et signification physique

Le champ se développe en opérateurs d’annihilation de particule b et de création d’antiparticule d†, avec {b,b†}=δ. L’anti-commutation, contrairement à la commutation bosonique, interdit deux fermions dans le même mode.

Réglez les paramètres et faites glisser la figure ; les valeurs illustrent quantitativement les hypothèses affichées.

Structure et interprétation

Le lagrangien libre L=ψ̄(iγμ∂μ−m)ψ donne l’équation de Dirac. Le remplacement ∂μ→Dμ=∂μ+ieAμ introduit l’interaction électromagnétique et le vertex photon-fermion ; l’invariance de jauge conserve le courant.

Exemple: Exemple quantitatif

Au repos, p=(m,0,0,0), l’équation de Dirac sépare les spineurs u et v. Après quantification, b† crée une particule et d† son antiparticule, de charge opposée.

Solution

Les modes v ne sont pas des particules classiques d’énergie négative ; en théorie quantique des champs, ils correspondent aux opérateurs de création d’antiparticules et à un spectre d’énergie positive.

La covariance de Lorentz n'est pas qu'une exigence formelle : les composantes du spineur se transforment ensemble afin que l'équation garde sa forme dans tout référentiel inertiel. Le courant de probabilité à une particule se généralise au quadr courant $j^\mu=\bar\psi\gamma^\mu\psi$ , avec $\partial_\mu j^\mu=0$ lorsque l'équation du champ est satisfaite. En théorie des champs, il devient un courant de charge conservé et fonde le couplage du champ de Dirac aux champs de jauge.

L'anti-commutation résout aussi l'instabilité suggérée par les énergies négatives à une particule : le développement du champ emploie des opérateurs d'annihilation fermionique et de création d'antiparticule, donnant un spectre positif au Hamiltonien. Échanger deux opérateurs fermioniques introduit un signe moins ; sur les états à plusieurs particules, cela conduit à l'exclusion et à la structure de signe des déterminants de Slater en physique atomique.

Vérification rapide

Quelle statistique suivent les fermions ?

Quelle charge porte l’antiparticule de l’électron ?

Références

Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder (1995). An Introduction to Quantum Field Theory
Steven Weinberg (1995). The Quantum Theory of Fields, Volume I