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Électrodynamique

Les équations de Maxwell

Les quatre équations de Maxwell relient charges et courants aux champs électrique et magnétique variables。

La forme différentielle décrit les relations locales entre champs et sources ; la forme intégrale exprime flux et circulation。

∇⋅E=ρ/ε0,∇⋅B=0,∇×E=−∂B/∂t,∇×B=μ0J+μ0ε0∂E/∂t∇·E = ρ/ε₀, ∇·B = 0, ∇×E = −∂B/∂t, ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t

Définition: Grandeurs et modèle

Gauss électrique : ∇·E = ρ/ε₀. Gauss magnétique : ∇·B = 0. Faraday : ∇×E = −∂B/∂t. Ampère–Maxwell : ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t。

Réglez les paramètres et tournez la vue pour explorer le champ ; il s’agit d’une illustration, pas d’un solveur général de Maxwell。

Interprétation et conséquences

La divergence de l’équation d’Ampère–Maxwell, combinée à ∂ρ/∂t + ∇·J = 0, montre que le terme ∂E/∂t est nécessaire à la conservation de la charge。

Exemple: Exemple quantitatif

Dans le vide sans sources, le rotationnel de Faraday combiné à Ampère–Maxwell donne ∇²E − μ₀ε₀∂²E/∂t² = 0, avec c = 1/√(μ₀ε₀)。

Solution

Remplacez dans la relation donnée, gardez des unités SI cohérentes et vérifiez les dimensions。

La divergence des deux équations de rotationnel donne ∂tρ+∇⋅J=0\partial_t\rho+\nabla\cdot J=0, si la loi de Gauss est vraie initialement : c’est la conservation locale de la charge. Réciproquement, le courant de déplacement rend la loi d’Ampère compatible avec cette conservation. Les formes intégrales éclairent le sens physique : le flux électrique d’une surface fermée compte la charge, tandis que la circulation du champ sur son bord dépend du courant conducteur et de la variation du flux électrique.

Les deux lois de Gauss et les deux équations de rotationnel forment un système d’évolution contraint. Comme ∇⋅B=0\nabla\cdot B=0, la divergence du rotationnel de Faraday s’annule identiquement ; la loi de Gauss électrique reste cohérente dans le temps si l’équation de continuité est satisfaite. Une solution à valeurs initiales doit respecter les deux contraintes de Gauss au départ, puis les équations de rotationnel les préservent. Cette structure compte aussi en calcul numérique, où les erreurs peuvent faire dériver les contraintes.

Dans le vide, ε0\varepsilon_0 et μ0\mu_0 fixent la vitesse finie de propagation c=(μ0ε0)−1/2c=(\mu_0\varepsilon_0)^{-1/2}. Ce résultat dépasse la solution ondulatoire : il relie les mesures électriques et magnétiques à la structure causale de l’électrodynamique.

Vérification rapide

Quelle relation est correcte dans la situation idéalisée ?

Que faut-il vérifier d’abord avant d’appliquer une formule de champ ?

Références

  1. James Clerk Maxwell (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism
  2. David J. Griffiths (2017). Introduction to Electrodynamics