Động lượng suy rộng và hàm Hamilton
Dao động tử điều hòa minh họa phép biến đổi Legendre. Hamiltonian tạo thành một mặt năng lượng theo tọa độ q và động lượng liên hợp p; mỗi trạng thái chuyển động nằm trên một mức H không đổi.
1. Mặt H(q, p)
Mô hình có m=1 kg. Thay đổi tần số góc ω và mức năng lượng; xoay mặt bằng kéo chuột hoặc phím mũi tên.
2. Quỹ đạo trên mặt phẳng pha
Đường mức $H=E$ là ellipse. Vận tốc tọa độ q̇ = p/m, trong khi ṗ = −mω²q; hai phương trình Hamilton cho dòng chuyển động tiếp tuyến với đường mức.
Đơn vị q: mét; p: kg·m/s; độ cao mặt H biểu diễn năng lượng J theo thang minh họa.