Mécanique quantique

L'oscillateur harmonique quantique

L'oscillateur quantique possède des niveaux équidistants $E_n=\hbar\omega(n+1/2)$ et une énergie de point zéro non nulle.

Le ressort quantique est un modèle soluble exactement pour les vibrations près d'un équilibre dans les molécules, les réseaux et de nombreux champs. Contrairement à un oscillateur classique au minimum du potentiel, son état fondamental fluctue encore.

V(x)=\frac12m\omega^2x^2,\qquad E_n=\hbar\omega\left(n+\frac12\right),\quad n=0,1,2,...

Définition: Énergie de point zéro

Le niveau le plus bas vaut $E_0=\hbar\omega/2$ , non zéro. La fonction d'onde fondamentale est gaussienne, avec $\Delta x=\sqrt{\hbar/(2m\omega)}$ et $\Delta p=\sqrt{m\hbar\omega/2}$ ; leur produit atteint $\hbar/2$ .

Faites varier

n

pour examiner

|\psi_n|^2

et les niveaux équidistants ; le mouvement de point zéro laisse une densité finie au minimum du potentiel.

États excités

Les fonctions propres sont le produit d'un polynôme d'Hermite et d'une gaussienne. L'état $n$ possède $n$ nœuds et une probabilité de part et d'autre. Son spectre équidistant en fait une base utile pour développer les potentiels presque paraboliques.

Exemple: Écart entre niveaux

Un oscillateur a une fréquence $\nu=5.0\times10^{13}$ Hz. Calculez l'écart entre niveaux voisins $E_{n+1}-E_n$ .

Solution

$\Delta E=\hbar\omega=h\nu=6.626\times10^{-34}\times5.0\times10^{13}=3.31\times10^{-20}$ J $=0,207$ eV.

Les opérateurs d'échelle $a$ et $a^\dagger$ construisent le spectre sans résoudre directement une équation différentielle. Ils vérifient $[a,a^\dagger]=1$ et $H=\hbar\omega(a^\dagger a+1/2)$ . L'état fondamental est annihilé par $a$ , donc son énergie reste $\hbar\omega/2$ ; les états excités s'obtiennent en appliquant plusieurs fois $a^\dagger$ . La densité de probabilité fondamentale est gaussienne, tandis que les états supérieurs ont des nœuds. Ce modèle approxime les petites oscillations autour d'un minimum de potentiel et fonde la notion de phonon dans les cristaux.

Vérification rapide

Quelle est l'énergie fondamentale de l'oscillateur quantique ?

Comment l'écart entre niveaux voisins dépend-il de $n$ ?

Références

David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics