古典統計力学

マクスウェル＝ボルツマン分布

平衡にある古典理想気体の分子速度は Maxwell–Boltzmann 分布に従います。速さ分布には状態密度の因子も含まれます。

f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2}v^2e^{-mv^2/(2k_B T)}

定義: 量と意味

三次元速度ベクトル分布は各成分が Gaussian です。球殻因子 4πv² を掛けると速さの確率密度 f(v) になります。最確速さ、平均速さ、二乗平均平方根速さはそれぞれ √(2kBT/m)、√(8kBT/πm)、√(3kBT/m) です。希薄気体・熱平衡・古典領域を仮定します。

Phân bố tốc độ và nhiệt độ

定量関係

v_{\rm mp}=\sqrt{2k_BT/m}, \quad v_{\rm rms}=\sqrt{3k_BT/m}

例: 例題

同じ温度で分子質量を m から 4m に変えると、二乗平均平方根速さはどうなりますか。

解答

v_rms=√(3kBT/m) より、質量を 4 倍にすると速さは半分になります。

例: 例：窒素分子の速さの見積もり

T=300 K で N₂ 分子の質量を m≈4.65×10⁻²⁶ kg とします。最確速さは v_mp=√(2kBT/m)≈422 m·s⁻¹、二乗平均平方根速さは v_rms=√(3kBT/m)≈517 m·s⁻¹ です。速さ分布は右に裾を引くため、高速側の裾が二乗平均平方根速さを最確速さより大きくします。ルートヴィッヒ・ボルツマンは気体の平衡状態を統計的に捉える考え方の発展に貢献しました。

速度ベクトル分布は三次元速度空間上の確率密度ですが、f(v)dv は速さが v から v+dv にある確率です。v² 因子により、各速度成分の分布がゼロで最大でも、速さ密度は v=0 でゼロになります。温度を上げると分布は広がり、ピークは高速度側へ移動します。同じ T で分子質量を増やすと低速側へ移ります。これは古典平衡の法則で、量子縮退効果は記述しません。f(v) は規格化され、0 から無限大までの面積は 1 です。狭い速さ区間に入る分子数は約 Nf(v)dv であり、平均速さと最確速さは異なる統計量です。多くの分子の速さを測れば分布が再現されますが、衝突により各分子の軌道は絶えず変化します。速度統計から分子運動と測定可能な圧力・熱輸送が結び付きます。これは気体分子運動論の基礎です。

確認問題

T 一定で分子質量が 4 倍になると二乗平均平方根速さはどうなりますか。

三次元速度空間の状態密度に由来する因子はどれですか。

参考文献

Charles Kittel and Herbert Kroemer (1980). Thermal Physics
L. D. Landau and E. M. Lifshitz (1980). Statistical Physics