物性物理学

フェルミ＝ディラック統計

フェルミ＝ディラック分布はパウリ排他原理に従うフェルミ粒子の平衡占有を記述します。絶対零度ではフェルミエネルギーまで状態が満たされ、有限温度では占有の境界がぼやけます。

電子・陽子・中性子などのフェルミ粒子はパウリ排他原理に従い、スピン状態ごとに一つの一粒子量子状態に最大一個だけ入れます。その占有確率はフェルミ＝ディラック分布に従います。

フェルミ面と縮退物質

金属の伝導電子はフェルミ準位まで状態を満たします。μ の周囲およそ kBT のエネルギー範囲にある電子だけが容易に励起され、多くの熱的・電子的性質はフェルミ面近傍の構造で決まります。

フェルミ温度 T_F=E_F/kB は通常、金属の常温よりはるかに高く、伝導電子は縮退量子気体です。量子占有が重要なとき古典的なマクスウェル＝ボルツマン近似は適用できません。

確認問題

低温ではゾンマーフェルト展開で熱力学量を評価できます。滑らかな関数 g(ε) に対する占有状態の積分は、T=0 の値に主要補正 π²(kBT)²g′(μ)/6 を加えたものです。そのため熱的占有を変えられるのはフェルミ準位から kBT 程度以内の電子だけで、通常の金属の電子比熱は T に比例します。状態密度が kBT の幅で緩やかに変化することが条件です。

kBT が EF より十分小さいと、占有数は段差に近く、μ より下はほぼ満たされ上はほぼ空です。加熱でぼやけるのは狭いエネルギー層だけで、粒子数一定のため μ(T) はわずかに移動します。測定値と比べるときは一点の f ではなく g(ε)f(ε) を積分します。これが金属電子の熱応答が古典気体の予測より小さい理由です。