ニュートン力学

力のモーメントと剛体のつり合い

力のモーメントは軸まわりの回転作用を表します。剛体のつり合いには合力と合モーメントがともにゼロである必要があります。

ドアは蝶番から遠い取っ手を押すほうが、蝶番の近くを押すより回しやすいです。作用は力の大きさ、腕の長さ、向きで決まります。

\vec\tau=\vec r\times\vec F, \qquad |\tau|=rF\sin\theta=F d_\perp, \qquad \sum\vec F=\vec0,\quad \sum\vec\tau_O=\vec0

定義: 力のモーメント

$\vec r$ は基準点・軸 $O$ から力の作用点へのベクトル、 $d_\perp$ は軸から作用線までの垂直距離です。モーメントの単位はN·mで、向きは右ねじの規則で定まります。合力がゼロならどの点まわりでも回転つり合い条件は同じです。

両側の力と腕の長さを変え、合モーメントと棒の傾きを観察します。

剛体のつり合い

静的つり合いでは並進・回転の加速度がともにゼロで、合力と任意点まわりの合モーメントがゼロです。平面問題では未知力のモーメントを消せる支点を選ぶと便利です。

例: つり合う棒

支点から0.40 mの位置に垂直な30 Nの力が働きます。反対側0.60 mの位置でモーメントを釣り合わせる垂直力を求めなさい。

解答

モーメントつり合いより $30(0.40)=F(0.60)$ 、したがって逆向きの回転作用となる力は $F=20\,\mathrm N$ です。

平面問題では回転方向の一方を正と定め、各モーメントの符号を一貫させます。作用線が支点を通る力のモーメントはゼロですが、合力には寄与します。モーメントのつり合いだけでは力のつり合いは保証されず、棒は回転せずに並進することがあります。両条件を別々に確認し、棒が軽くない場合はその重力も含めます。

力のモーメントは選んだ基準点に依存します。つり合い問題では未知力の作用点を通る支点を選ぶと、その力のモーメントを式から除けます。モーメント条件で別の力を求めた後、合力の式に戻って反力を決めます。広がりを持つ物体の重力は重心に働き、棒の端に働くとは限りません。

支点から作用点への棒と平行な力のモーメントはいくらですか。

剛体の静的つり合い条件は何ですか。