ニュートン力学

慣性モーメントと回転運動

慣性モーメント I=∫r²dm は軸まわりの質量分布を表し、回転運動の慣性に当たります。

質量が同じでも、質量が軸から遠く分布する物体ほど回転加速しにくくなります。慣性モーメントは質量と軸からの距離に依存します。

代表的な式

各式は一様な物体と記載された軸を仮定します。平行軸の定理は $I=I_{cm}+Md^2$ で、二軸の間隔は $d$ です。

クイックチェック

薄い輪では全ての質量要素が軸から距離 $R$ にあるため $I=MR^2$ です。一様な円盤では平均的に質量が軸に近く、同心円環に分けて積分すると $I= frac12MR^2$ となります。固定軸まわりに一定トルクを受けると角加速度は $alpha= au/I$ です。総質量が同じでも、質量を軸から遠ざけるほど回転加速しにくくなります。

慣性モーメントは軸を変えると垂直距離 $r_perp$ が変わるため、選んだ軸に依存します。平行軸の定理を使えば重心軸の結果を平行な軸へ移せます：$I=I_{cm}+Md^2$。例えば長さ $L$ の細い棒は端まわりで $I=ML^2/3$、中心まわりの $ML^2/12$ より大きくなります。公式表を使う際は物体と軸を明記しましょう。

単位kg·m²は質量と軸からの距離の二乗を表します。全ての距離を2倍にすると $I$ は4倍になります。 数値とともに軸も必ず明記します。