ニュートン力学

斜面

重力を斜面に平行・垂直な成分に分けると、運動と摩擦を理解できます。

斜面は単純機械の一つです。斜面に沿って物体を上げると、垂直に持ち上げるより小さい力で済みますが、距離は長くなります。滑りを調べるには、重力を斜面に沿う方向と垂直方向に分けます。

P_{\parallel}=mg\sin\theta,\qquad N=mg\cos\theta

定義: 重力の成分

水平から角度 $\theta$ の斜面では、重力 $mg$ の斜面方向成分は下向きに $mg\sin\theta$ 、垂直成分は $mg\cos\theta$ です。面に垂直な加速度がなければ、垂直抗力は $N=mg\cos\theta$ です。摩擦力は斜面に沿って働きます。

斜面角度・質量・摩擦を調節し、重力成分、垂直抗力、斜面方向加速度を確認します。

斜面に沿う運動

摩擦がなければ斜面方向の運動方程式から下向き加速度は $a=g\sin\theta$ です。動摩擦係数が $\mu_k$ で物体が下向きに滑る場合、 $a=g(\sin\theta-\mu_k\cos\theta)$ となります。この式は下向き滑りを仮定します。斜面方向の重力成分が最大静止摩擦力以下なら、静止摩擦が物体を止められます。

例: 摩擦のない場合の加速度

摩擦のない $30^\circ$ の斜面を物体が滑ります。 $g=9.8\,m/s^2$ として斜面方向加速度を求めましょう。

解答

$a=g\sin30^\circ=9.8\times0.5=4.9\,m/s^2$ で、斜面下向きです。

30° の斜面上の質量 4 kg の荷物には、 $g=10 m/s²$ とすると下向き成分 $mgsin30°=20 N$ が働き、垂直抗力は $mgcos30°≈34.6 N$ です。摩擦がなければ加速度は質量によらず 5 m/s² です。斜面は小さな力で長い距離を動かす仕組みであり、荷物を上げる仕事そのものをなくしません。

例: 斜面上の力

摩擦のない 30° 斜面を物体が滑ります。g=10 m/s² として加速度を求めましょう。

解答

a=g sin30°=10×0.5=5 m/s²、斜面下向きです。

斜面方向の摩擦を決めるには、まず物体が滑る、または滑ろうとする相対方向を考えます。重力の垂直成分は接触の押し付けに関係し、平行成分は物体を斜面下へ滑らせようとします。荷物用スロープや滑り台でも同じ考え方を使います。

クイックチェック

水平から角度 θ の斜面に平行な重力成分は何ですか。

斜面に垂直な加速度がないとき、垂直抗力 N はいくらですか。

参考文献

Young, Freedman (2019). University Physics