素粒子物理学

スカラー場の量子化

スカラー場を量子化すると各フーリエモードは量子振動子となり、粒子状態は場の励起、真空には零点揺らぎが存在します。

実スカラー場 φ(x) は時空の各点に観測量を割り当てます。自由理論では運動量モードは周波数 ωₖ=√(k²+m²) の無数の振動子となり、生成・消滅演算子で量子化されます。

\mathcal{L}=\frac12\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi-\frac12m^2\phi^2-\frac{\lambda}{4!}\phi^4

定義: 定義と物理的意味

場は（ℏ=c=1 で）[φ(t,x),π(t,y)]=iδ³(x−y) を満たします。実場では粒子と反粒子は同一で、a†ₖ が真空に作用すると運動量 k の量子を生成します。

パラメータを調整し、図をドラッグしてモデルを観察します。数値は表示された仮定のもとでの定量的な例です。

構造と解釈

λφ⁴ 相互作用により量子は散乱し、4本脚頂点で生成・消滅します。1/4! の規約により頂点因子は −iλ となり、相互作用は摂動的または非摂動的に扱います。

例: 定量例

自由真空では1粒子状態は |k⟩=a†ₖ|0⟩ です。数演算子 Nₖ=a†ₖaₖ は Nₖ|k⟩=|k⟩ を与え、モードのハミルトニアンのエネルギーは ωₖ(Nₖ+1/2) です。

解答

この状態はモード k に零点エネルギー ωₖ/2 に加えて量子を1つ含みます。零点エネルギーの総和は形式的に発散し、場の理論計算では正則化が必要です。

規格化を明確にするため、場を有限体積の箱に置き、運動量積分を離散和に置き換えます。各モードの数演算子は $N_{\mathbf k}$ 、エネルギーは $\omega_{\mathbf k}(N_{\mathbf k}+1/2)$ です。無限体積極限ではモードが連続化するため、観測量は有限になるよう定義します。

ローレンツ不変な規格化を用い、一粒子モードを足し合わせて各点の場演算子を作ります。異なる点の場は一般には交換しませんが、空間的に離れた点では $[\phi(x),\phi(y)]=0$ が成り立ち、光速を超える信号伝播を防ぎます。これは相対論的場の量子論における因果律の基本条件です。制御可能な超光速通信を許さない非局所相関と、局所測定を区別し、局所場の代数を相対論的な因果影響の制限に結び付けます。

確認問題

真空から運動量 k の粒子を生成する演算子はどれですか。

ℏ=c=1 での正準交換関係は何ですか。

参考文献

Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder (1995). An Introduction to Quantum Field Theory
Steven Weinberg (1995). The Quantum Theory of Fields, Volume I