素粒子物理学

ディラック場とフェルミ粒子

ディラック場はスピン1/2粒子と反粒子を量子化して記述します。反交換関係がフェルミ・ディラック統計とパウリの排他原理を保証します。

3+1次元のディラック・スピノル ψ は4成分で、粒子・反粒子それぞれの2つのスピン状態を記述します。ディラック方程式は量子力学とローレンツ共変性を統合し、正負周波数モードを粒子・反粒子場として量子化します。

構造と解釈

自由ラグランジアン L=ψ̄(iγμ∂μ−m)ψ からディラック方程式が得られます。∂μ→Dμ=∂μ+ieAμ と置き換えると電磁相互作用と光子・フェルミオン頂点が生じ、ゲージ不変性が電流を保存します。

ローレンツ共変性は形式的な条件にとどまりません。スピノル成分が一体となって変換するため、どの慣性系でも方程式の形が保たれます。一粒子の確率流は四元電流 $j^\mu=\bar\psi\gamma^\mu\psi$ に一般化され、運動方程式のもとで $\partial_\mu j^\mu=0$ となります。場の理論では保存電荷流となり、ディラック場とゲージ場の結合の基礎です。

反交換関係は、一粒子の負エネルギーが示唆する不安定性も解決します。場の展開ではフェルミオン消滅演算子と反粒子生成演算子を用い、ハミルトニアンのスペクトルを正にします。二つの演算子を交換すると負号が現れ、多粒子状態では排他原理となり、原子物理のスレーター行列式の符号構造を支えます。

確認問題