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素粒子物理学

電弱相互作用と QED

QED は電磁相互作用の U(1) ゲージ理論であり、電弱理論は SU(2)ₗ×U(1)ᵧ を通じて弱い相互作用と統一します。

QED では電子と陽電子が電荷 e を介して光子と結合し、光子は質量をもちません。高エネルギーでは中性 Z⁰ 電流と荷電 W± 電流が電弱相互作用の一部となります。

LQED=ψˉ(iγμDμ−m)ψ−14FμνFμν,Dμ=∂μ+ieAμ\mathcal{L}_{\mathrm{QED}}=\bar\psi(i\gamma^\mu D_\mu-m)\psi-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\quad D_\mu=\partial_\mu+ieA_\mu

定義: 定義と物理的意味

QED の電流は共変微分 Dμ を用いて局所位相変換に対するゲージ不変性を保証し、フェルミオン・光子頂点の強さは e に比例します。

パラメータを調整し、図をドラッグしてモデルを観察します。数値は表示された仮定のもとでの定量的な例です。

構造と解釈

標準過程 e⁺e⁻→μ⁺μ⁻ は s チャネルで光子（高エネルギーでは Z も）を交換します。質量と高次補正を無視すると、QED 断面積は σ=4πα²/(3s) で、s は不変エネルギーの二乗です。

例: 定量例

√s=10 GeV で α≈1/137 をボルン近似に代入すると σ≈4πα²/(3s) です。単位は GeV⁻² で、1 GeV⁻²≈0.389 mb を用いて換算します。

解答

σ≈0.000223 GeV⁻²≈8.68×10⁻⁵ mb≈0.0868 μb≈86.8 nb です。これは質量ゼロのレプトンに対するボルン近似で、Z 共鳴、高次 QED 補正、検出器効果は含みません。

電弱理論ではゲージ場は当初 SU(2)L×U(1)YSU(2)_L\times U(1)_Y に属します。ヒッグス場が真空期待値を得ると、場の組み合わせから光子と中性 ZZ 粒子が生じ、二つの荷電状態が W+W^+ と W−W^- になります。ワインバーグ角が中性場の混合を定め、電荷や弱電流をゲージ群の構造に結び付けます。

局所ゲージ変換は場の記述を変えますが、物理的観測量は変えません。テンソル FμνF_{\mu\nu} はゲージ不変な電場・磁場を表します。非可換なQCDでは場のテンソルにグルーオンの自己相互作用も含まれます。したがって群の構造は単なる記号でなく、媒介粒子や相互作用規則、力のエネルギー依存性を決めます。この尺度依存性を測定すれば理論の量子補正を検証でき、同じ枠組みが高エネルギーで電弱相互作用を統一します。

確認問題

低エネルギーの e⁺e⁻→μ⁺μ⁻ で主に交換される粒子は何ですか。

ボルン近似で σ は s にどう依存しますか。

参考文献

  1. Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder (1995). An Introduction to Quantum Field Theory
  2. Steven Weinberg (1995). The Quantum Theory of Fields, Volume I