相対性理論

微分幾何と時空の曲率

計量は距離と固有時間を表し、リーマンテンソルは時空の曲率を表します。

ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu

定義: 基本量

計量や場のテンソル成分は座標に依存しますが、物理的予測は不変です。基本式は $ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ です。

ドラッグして視点を回し、パラメーターを変えて幾何と運動を調べます。

方程式の読み方

計量は距離と固有時間を表し、リーマンテンソルは時空の曲率を表します。

例: 極限と解釈

弱い場、低速、天体から遠い領域を考えます。一般相対論は適切なニュートン近似に近づきますが、地平面付近や強重力ではこの近似は成り立ちません。

解答

対応原理により、新しい理論は適用範囲内で旧理論の実験的結果を再現します。

例: 測地線偏差による曲率

小領域で近接する自由落下粒子の間隔ベクトルを $\xi^\mu$ とすると、測地線偏差は $D^2\xi^\mu/D\tau^2=-R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}u^\nu\xi^\alpha u^\beta$ です。相対加速度は座標ではなくリーマンテンソルに依存します。

解答

領域で $R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}=0$ なら固有の潮汐加速度はありません。粒子群の相対加速度を測れば曲率成分を調べられ、これが曲率の物理的意味です。

一般座標でクリストッフェル記号 $\Gamma^\rho_{\mu\nu}$ は基底の変化を表しますがテンソルではなく、一点では座標選択によりゼロにできます。 $\Gamma$ の微分と $\Gamma\Gamma$ 項から作るリーマンテンソルは、曲率が実際に非零なら消せません。縮約するとリッチテンソルとスカラー曲率が得られ、アインシュタインテンソル $G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\tfrac12Rg_{\mu\nu}$ は共変発散がゼロです。

閉曲線に沿ってベクトルを平行移動すると向きが変わることがあり、その回転量は囲まれた曲率に依存します。平坦多様体では結果は経路に依存せず、曲がった多様体ではホロノミーを測ります。曲率は外部空間の折れではなく計量と接続の性質です。

クイックチェック

この主題の基本式は何を表しますか。

最も適切な解釈はどれですか。

参考文献

Sean Carroll (2019). Spacetime and Geometry
Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitation