相対性理論

シュワルツシルト解とブラックホール

回転しない球対称質量の外部では、シュワルツシルト解がシュワルツシルト半径の事象の地平面を予言します。

r_s=\frac{2GM}{c^2}

定義: 基本量

計量や場のテンソル成分は座標に依存しますが、物理的予測は不変です。基本式は $r_s=\frac{2GM}{c^2}$ です。

ドラッグして視点を回し、パラメーターを変えて幾何と運動を調べます。

方程式の読み方

回転しない球対称質量の外部では、シュワルツシルト解がシュワルツシルト半径の事象の地平面を予言します。

例: 極限と解釈

弱い場、低速、天体から遠い領域を考えます。一般相対論は適切なニュートン近似に近づきますが、地平面付近や強重力ではこの近似は成り立ちません。

解答

対応原理により、新しい理論は適用範囲内で旧理論の実験的結果を再現します。

例: シュワルツシルト半径の見積もり

シュワルツシルト半径は $r_s=2GM/c^2$ です。太陽質量 $M_\odot=1.99\times10^{30}\,kg$ 、 $G=6.67\times10^{-11}\,SI$ 、 $c=3.00\times10^8\,m/s$ から半径を見積もり、現在の太陽がブラックホールでない理由を考えます。

解答

$r_s\approx2.95\times10^3\,m$ 、約 $3\,km$ です。太陽半径は約 $7\times10^8\,m$ と大きく、質量が $r_s$ 内に圧縮されない限り地平面はできません。

シュワルツシルト座標の計量には時間係数 $1-r_s/r$ と動径係数 $(1-r_s/r)^{-1}$ があります。 $r=r_s$ の座標特異点は曲率の発散ではなく、エディントン＝フィンケルシュタイン座標やクルスカル座標では地平面を越えて正則です。この半径では外向きの光でさえ内部から脱出できません。地平面は物質表面でなく因果境界です。球対称・非回転の仮定が重要で、回転ブラックホールにはカー解が必要です。

球対称ではビルコフの定理により、内部の質量分布が一様でなくても真空外部は静的なシュワルツシルト時空です。崩壊中の内部や回転ブラックホールは記述しません。遠方観測者には重力赤方偏移と遅れて届く信号が見えますが、自由落下観測者は有限の固有時間で地平面を通過します。

クイックチェック

この主題の基本式は何を表しますか。

最も適切な解釈はどれですか。

参考文献

Sean Carroll (2019). Spacetime and Geometry
Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitation