相対性理論

等価原理

十分小さな領域では、一様な重力場の効果は基準系の加速度と局所的に区別できません。この原理が一般相対論の出発点です。

密閉されたエレベーターの中にいると考えましょう。地球上で静止していても、宇宙空間で加速していても、床は同じように体を支えます。十分小さな範囲では両者の力学的結果は同じです。

a_{\text{grav}} \leftrightarrow a_{\text{frame}}

定義: 局所的な主張

アインシュタインの等価原理によれば、十分小さな自由落下実験室では、重力以外の物理法則は特殊相対論の形をとります。「局所的」が重要です。不均一な重力場は潮汐効果を生み、有限の領域全体から座標変換だけで消すことはできません。

加速系の軌道と質量の近くでの運動を比べます。観測領域を広げると潮汐効果が現れます。

力から幾何へ

重力場で静止させられた観測者には固有加速度がありますが、理想的な自由落下観測者は重さを感じません。一般相対論では自由物体は時空の測地線を進み、潮汐効果は座標変換で消せる一様な力ではなく曲率を示します。

例: 加速するエレベーター

空間中のエレベーターが上向きに $a=9.8\,\mathrm{m/s^2}$ で加速しています。物体をキャビンに対して静止状態から放します。キャビンに対する加速度はどちら向きで、いくらですか。

解答

空間の慣性系では物体に力が働かず、加速度はありませんが、キャビンは上向きに加速します。したがってキャビンに対して物体は下向きに $9.8\,\mathrm{m/s^2}$ で加速し、等価な重力場での落下と同じです。

例: 潮汐加速度の見積もり

ニュートン重力場では $g(r)=GM/r^2$ です。質量源から距離 $r$ にあり、半径方向に $L\ll r$ 離れた二つの試験質量を考えます。加速度差を見積もると、有限の自由落下実験室ですべての重力効果を消せない理由が分かります。

解答

一次近似で $\Delta g\simeq (dg/dr)L=-2GM L/r^3$ です。これが半径方向の潮汐加速度であり、自由落下は中心での共通加速度を除きますが、場の勾配は除きません。

十分小さな実験で、一様重力場とキャビンの加速度を力学測定で区別できますか。

等価性が局所的に成り立つのはなぜですか。