相対性理論

アインシュタイン場の方程式

アインシュタイン方程式は時空の曲率を物質のエネルギー・運動量・応力と結びつけます。

G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}

定義: 基本量

計量や場のテンソル成分は座標に依存しますが、物理的予測は不変です。基本式は $G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$ です。

ドラッグして視点を回し、パラメーターを変えて幾何と運動を調べます。

方程式の読み方

アインシュタイン方程式は時空の曲率を物質のエネルギー・運動量・応力と結びつけます。

例: 極限と解釈

弱い場、低速、天体から遠い領域を考えます。一般相対論は適切なニュートン近似に近づきますが、地平面付近や強重力ではこの近似は成り立ちません。

解答

対応原理により、新しい理論は適用範囲内で旧理論の実験的結果を再現します。

例: エネルギー運動量保存の確認

アインシュタインテンソルは縮約ビアンキ恒等式 $\nabla_\mu G^{\mu\nu}=0$ を満たします。場の方程式全体に共変微分を作用させ、 $\nabla_\mu g^{\mu\nu}=0$ を用いると、エネルギー運動量テンソル $T^{\mu\nu}$ にどの条件が得られますか。

解答

宇宙定数が一定なら左辺の発散はゼロなので、 $\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$ です。これは共変な局所エネルギー運動量保存則であり、幾何と物質源の整合性を要求します。

場の方程式は計量に対する十個の非線形微分方程式で、ビアンキ恒等式が整合性を制約します。 $\Lambda=0$ の真空では $T_{\mu\nu}=0$ となり $R_{\mu\nu}=0$ に簡約されますが、リーマンテンソルは非零でもよく、外部場や重力放射は時空を曲げます。重力には $T_{\mu\nu}$ に相当する局所的で不変なテンソルエネルギー密度がありません。エネルギーは境界量や漸近的観測量で定義されることが多く、初期値問題や全体エネルギーはニュートン力学より繊細です。

解を求めるには境界条件または初期データとゲージ選択が必要です。計量成分の多くは独立な物理自由度ではありません。平坦時空まわりの弱場極限ではポアソン方程式 $\nabla^2\Phi=4\pi G\rho$ が得られ、ニュートン重力が再現されます。一方、厳密解には地平面・特異点・波構造があり、線形近似では見逃されます。

クイックチェック

この主題の基本式は何を表しますか。

最も適切な解釈はどれですか。

参考文献

Sean Carroll (2019). Spacetime and Geometry
Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitation