Physic Labs

電磁力学

マクスウェル方程式

マクスウェルの4方程式は、電荷・電流と時間変化する電場・磁場を結びつけます。

微分形は場と源の局所関係を示し、積分形は面を貫く束や閉曲線に沿う循環を表します。

∇⋅E=ρ/ε0,∇⋅B=0,∇×E=−∂B/∂t,∇×B=μ0J+μ0ε0∂E/∂t∇·E = ρ/ε₀, ∇·B = 0, ∇×E = −∂B/∂t, ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t

定義: 量とモデル

電気のガウス則: ∇·E = ρ/ε₀。磁気のガウス則: ∇·B = 0。ファラデー則: ∇×E = −∂B/∂t。アンペール–マクスウェル則: ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t。

パラメータを調整して場の構造を観察します。一般的な Maxwell 方程式ソルバーではなく模式図です。

解釈と帰結

アンペール–マクスウェル則の発散と連続の式 ∂ρ/∂t + ∇·J = 0 から、電荷保存には ∂E/∂t 項が必要だと分かります。

例: 定量例

電荷・電流のない真空でファラデー則の回転を取り、アンペール–マクスウェル則を使うと ∇²E − μ₀ε₀∂²E/∂t² = 0、速度 c = 1/√(μ₀ε₀) を得ます。

解答

示した関係式に代入し、SI 単位をそろえて次元を確認します。

二つの回転方程式の発散を取ると、初期にガウス則が成り立つ限り ∂tρ+∇⋅J=0\partial_t\rho+\nabla\cdot J=0、すなわち局所的な電荷保存が得られます。逆に電荷保存を基本とすれば、変位電流項がアンペール則との整合性を保証します。積分形は物理的意味を明らかにし、閉曲面を通る電束は電荷を数え、その境界に沿う場の循環は伝導電流と電束の時間変化に結びつきます。

二つのガウス則と二つの回転方程式は、拘束条件をもつ時間発展系を構成します。∇⋅B=0\nabla\cdot B=0 なのでファラデー則の回転の発散は恒等的にゼロです。電気のガウス則は連続の式が成り立つと時間的に整合します。初期値問題では最初に二つのガウス拘束を満たす必要があり、その後は回転方程式がそれを保ちます。この構造は数値計算での拘束条件のずれを理解するうえでも重要です。

真空では ε0\varepsilon_0 と μ0\mu_0 が有限の伝播速度 c=(μ0ε0)−1/2c=(\mu_0\varepsilon_0)^{-1/2} を定めます。これは単なる波動解の結果ではなく、電気・磁気の測定を電磁気学の因果構造に結びつけます。

クイックチェック

記述した理想条件で正しい関係はどれですか。

場の式を使う際、まず何を確認すべきですか。

参考文献

  1. James Clerk Maxwell (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism
  2. David J. Griffiths (2017). Introduction to Electrodynamics