電磁力学

双極子電磁放射

加速電荷は放射します。遠方場の電気双極子は sin²θ の角度分布をもち、平均放射電力は ω⁴p₀² に比例します。

z 軸方向に p(t) = p₀ cos(ωt) で振動する短い電気双極子を考えます。放射領域 r ≫ λ では横波場が 1/r で減衰し、エネルギーを外へ運びます。

解釈と帰結

平均全放射電力は P = μ₀ω⁴p₀²/(12πc) です。ω⁴ により高周波ほど放射が強くなります。近接場には 1/r²、1/r³ 項もあります。

立体角で積分すると $\int\sin^2\theta\,d\Omega=8\pi/3$ となり、$\langle P\rangle=\mu_0\omega^4p_0^2/(12\pi c)$ が得られます。放射パターンは二つのローブをもち、双極子軸上では放射しません。短双極子近似には光源の大きさが波長より十分小さいことが必要です。そうでなければ光源内で位相が変化し、高次多極子が全放射電力と角度分布を変えます。

角度分布は放射の偏光を反映し、遠方電場は観測方向 $\hat r$ と双極子モーメント $\hat z$ の両方に垂直です。半径 $r$ の球を通る流束は $r^2\langle S_r\rangle$ なので、場は $1/r$ で減衰しても全放射電力は距離に依存しません。近接場の $1/r^2$、$1/r^3$ 項は無限遠へ運び続けるのではなく、周期的にエネルギーを蓄えます。

遠方場の条件は $kr\gg1$ です。遠方極限で球面を通る有限の外向き電力に寄与するのは、放射項である $1/r$ の項だけです。そのためアンテナ設計は動作周波数に強く依存します。

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