Mécanique newtonienne

Moment d'inertie et mouvement de rotation

Le moment d'inertie I=∫r²dm mesure la répartition de masse autour d'un axe et joue le rôle de l'inertie en rotation.

Deux objets de même masse résistent différemment à l'accélération angulaire si la masse de l'un est plus éloignée de l'axe. Le moment dépend de la masse et de sa distance à l'axe.

Résultats usuels

Ces formules supposent des solides homogènes et les axes indiqués. Le théorème des axes parallèles donne $I=I_{cm}+Md^2$ pour des axes distants de $d$.

Vérification rapide

Pour un anneau mince, chaque élément de masse se trouve à la distance $R$ de l’axe, donc $I=MR^2$. Dans un disque plein homogène, la masse est en moyenne plus proche de l’axe ; l’intégration sur des anneaux concentriques donne $I= frac12MR^2$. Sous un moment constant autour d’un axe fixe, l’accélération angulaire vaut $alpha= au/I$ : éloigner la masse de l’axe rend donc la rotation plus difficile à accélérer, même si la masse totale reste inchangée.

Le moment d’inertie dépend de l’axe choisi, car les distances perpendiculaires $r_perp$ changent avec l’axe. Le théorème des axes parallèles transporte le résultat de l’axe du centre de masse vers un axe parallèle : $I=I_{cm}+Md^2$. Ainsi, une tige mince de longueur $L$ autour d’une extrémité a $I=ML^2/3$, supérieur à $ML^2/12$ autour de son centre. Précisez toujours le solide et l’axe avant d’utiliser une table.

L’unité kg·m² traduit la masse et le carré de la distance à l’axe ; doubler toutes les distances multiplie $I$ par quatre.Indiquez toujours l’axe avec sa valeur numérique.