Mécanique newtonienne

Deuxième loi de Newton

La force résultante est égale à la masse multipliée par l'accélération : ΣF = ma, la règle quantitative qui sous-tend tout problème de dynamique.

La deuxième loi de Newton répond à la question : lorsqu'une force agit sur un objet, avec quelle rapidité son mouvement change-t-il ? La réponse tient en une courte équation, mais elle sous-tend toute la mécanique classique.

\vec{F} = m\vec{a}

Ici, $\vec{F}$ est la force résultante (la somme vectorielle de toutes les forces qui agissent sur l'objet), $m$ est la masse — une mesure de la résistance de l'objet à un changement de vitesse — et $\vec{a}$ est l'accélération, c'est-à-dire la rapidité avec laquelle la vitesse change au cours du temps.

Définition: Masse inertielle

La masse dans la deuxième loi n'est pas une vague « quantité de matière » : elle est définie par cette équation même. Pour une même force, un $m$ plus grand donne un $a$ plus petit. On mesure la masse en observant de combien une force connue accélère l'objet.

ScolairePourquoi ΣF = ma et non ΣF = mv ?

Avant Newton, la conception aristotélicienne voulait qu'une force soit nécessaire pour entretenir le mouvement : pas de force, pas de mouvement. Mais les expériences (notamment celles de Galilée sur des plans inclinés) ont montré que, sur une surface sans frottement, un objet continue indéfiniment en ligne droite sans aucune force. La force ne produit donc pas de vitesse, mais un changement de vitesse, c'est-à-dire une accélération. C'est la première loi (l'inertie), et la deuxième loi quantifie cette relation.

La section 1 du laboratoire illustre directement ΣF = ma sur un plan incliné : déplacez les curseurs de la force F, du frottement μ et de l'angle θ et observez l'accélération réagir instantanément. Voir le travail-énergie et les collisions aux sections 2 et 3.

Trois cas sur un plan incliné

Considérons une masse $m$ sur un plan incliné d'angle $\theta$ , soumise en plus à une force de traction $F$ le long du plan et à un coefficient de frottement cinétique $\mu$ . Décomposons le poids $P = mg$ en deux composantes : $mg\sin\theta$ (le long du plan, qui tire l'objet vers le bas) et $mg\cos\theta$ (perpendiculaire au plan, équilibrée par la réaction normale $N$ ).

N = mg\cos\theta

\sum F_{\parallel} = F - mg\sin\theta \mp \mu N = ma

Le sens du frottement dépend du sens du mouvement : le frottement s'oppose toujours au mouvement relatif, donc si l'objet glisse vers le bas, il est dirigé vers le haut de la pente, et inversement. Lorsque l'objet est au repos, le frottement statique ajuste lui-même son intensité (sans jamais dépasser $\mu N$ ) pour maintenir $\Sigma F = 0$ — le cas limite de la première loi.

Exemple: Plan incliné sans force de traction

Une caisse de 2 kg repose sur un plan incliné à 30° avec un coefficient de frottement $\mu = 0{,}2$ , sans force de traction supplémentaire. Glisse-t-elle vers le bas et, si oui, quelle est son accélération ?

Solution

Comparons $\tan\theta = \tan 30° \approx 0{,}577$ avec $\mu = 0{,}2$ . Comme $\tan\theta > \mu$ , la composante du poids le long de la pente l'emporte sur le frottement statique maximal : la caisse glisse vers le bas. Accélération : $a = g(\sin\theta - \mu\cos\theta) = 9{,}8 \times (0{,}5 - 0{,}2 \times 0{,}866) \approx 3{,}2\ \text{m/s}^2$ .

Appliquez la deuxième loi axe par axe : recensez toutes les forces, choisissez un sens positif et calculez la résultante sur cet axe. Un chariot de 10 kg tiré par 35 N et soumis à 15 N de frottement reçoit une résultante de 20 N et accélère à 2 m/s². La même résultante sur un chariot de 5 kg produit 4 m/s² ; une masse plus grande résiste davantage au changement de mouvement.

Exemple: Accélération d’un chariot

Un chariot de 4 kg subit 18 N vers la droite et 6 N de frottement vers la gauche. Calculez son accélération.

Solution

ΣF=12 N, donc a=ΣF/m=12/4=3 m/s² vers la droite.

Vérification rapide

Un objet est au repos sur un sol horizontal sans frottement. Quelle est la force résultante qui s'exerce sur lui ?

Si l'on double la masse d'un objet en gardant la même force résultante, son accélération :

Références

Isaac Newton (1687). Principia Mathematica
Young, Freedman (2019). University Physics