物性物理学

ボース＝アインシュタイン統計

ボース＝アインシュタイン分布は熱平衡にあるボース粒子状態の平均占有数を与えます。ボース粒子にはパウリ排他原理がなく同じ状態を共有でき、適切な密度と温度では基底状態への巨視的占有が起こります。

平衡状態の占有数はエネルギーと化学ポテンシャルに依存します。ボース粒子の占有数はパウリ原理で制限されず、エネルギーが化学ポテンシャルに上から近づくと分母はゼロに近づきます。

温度極限と凝縮

高温・低密度では n̄ᵢ ≪ 1 となり、分布はマクスウェル＝ボルツマン形に近づきます。一様な三次元理想ボース気体では臨界温度以下で励起状態に収容できない粒子が基底状態を占め、ボース＝アインシュタイン凝縮が起こります。

λₜ は熱的ド・ブロイ波長です。nλₜ³ が1程度になると集団的量子性が重要になります。2.612 は一様な3次元理想ボース気体の凝縮境界に対する値で、相互作用やトラップ形状で変わります。

より深い見方ではフガシティ $z=e^{\mu/(k_BT)}$ と大分配関数を用います。各モードの分配関数は $\mathcal Z_i=(1-ze^{-\beta\epsilon_i})^{-1}$ で、化学ポテンシャルによる微分から平均占有数が得られます。$z$ が許される最大値に近づくと、励起モードは同じ温度と密度のまま粒子を収容できなくなります。有限系では転移は丸まり、凝縮とは基底状態の巨視的占有を指します。

確認問題