物性物理学

ボース＝アインシュタイン凝縮の理論

ボース＝アインシュタイン凝縮は低温でボース粒子が基底状態を巨視的に占有する現象です。一様な3次元理想気体では状態密度から臨界温度が導かれ、弱い相互作用・有限サイズ・トラップが閾値や転移を修正します。

十分低温では励起状態に入る粒子数に上限があります。全粒子数がそれを超えると、余剰粒子が同じ基底状態を占めます。相互作用系では凝縮体と非凝縮成分が結合し、「原子がすべて静止する」現象ではありません。

状態数から凝縮体へ

励起粒子数は状態密度とボース占有数の積を積分して得られます。一様3次元系では μ がスペクトル底にあると積分が最大となり、Tc が決まります。閾値以下の理想凝縮率は N₀/N=1−(T/Tc)^(3/2) です。

実験では弱い相互作用をもつ冷却原子をトラップに閉じ込めます。密度不均一、有限粒子数、相互作用のため、測定 Tc は一様気体予測と異なることがあり、比較にはモデルの明示が必要です。

確認問題

希薄で弱相互作用の気体では、短距離弾性散乱を散乱長 a_s で特徴づけます。ほぼ絶対零度では凝縮密度 n₀ が相互作用尺度 gn₀ を定め、g=4πℏ²a_s/m です。長波長の集団励起はフォノンになります。したがって相互作用凝縮体は条件により超流動になりますが、単粒子凝縮と超流動は別概念です。この記述は na_s³≪1 の希薄気体を仮定します。

グロス＝ピタエフスキー方程式は平均場近似で凝縮体を記述し、外場と接触相互作用を量子運動エネルギーと競合させます。回復長 ξ≈ℏ/√(2mgn₀) は密度が乱れから戻る尺度で、渦の核は ξ 程度、循環は量子化されます。転移近傍では熱揺らぎや平均場を超える相関が重要になり、この近似だけでは不十分です。