電磁力学

静磁気とベクトルポテンシャル

定常電流は発散のない磁場を作ります。B = ∇×A と置けば ∇·B = 0 は自動的に満たされます。

静磁気では電流密度 J は時間に依存しません。アンペールの法則が B の回転を定め、ベクトルポテンシャル A は境界値問題や量子力学で役立ちます。

解釈と帰結

A は一意ではありません。ゲージ変換 A′ = A + ∇χ でも B は不変です。電磁気学ではスカラー電位 φ と A から E = −∇φ − ∂A/∂t を得ます。

ベクトルポテンシャルはゲージに依存しますが、閉曲線に沿う循環は一定です: $\oint A\cdot d\ell=\int B\cdot dS$。これは $B=\nabla\times A$ にストークスの定理を適用した式です。導線ループでは磁束の変化が誘導起電力 $\mathcal E=-d\Phi_B/dt$ を生み、ポテンシャルは場の幾何と電磁誘導を直接結びます。

クーロンゲージでは $A$ の各成分がポアソン方程式に従います。その積分解は一点だけでなく電流分布全体に依存し、最後に回転を取って $B$ を得ます。別のゲージは境界条件や対称性を扱いやすくしますが、観測量は変えません。時間変化する電流では、有限の信号速度を反映する遅延ポテンシャルが必要です。

ベクトルポテンシャルの積分解は非局所的で、すべての電流源点が重み $1/|r-r'|$ で寄与します。単連結領域ではクーロンゲージが便利な代表を選びますが、境界やトポロジーによって残余の自由度が残ることがあります。細線では閉曲線に沿う循環は張る面を貫く磁束と結びつきます。選ぶ面は電流源の領域と境界条件に整合していなければなりません。

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