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量子力学

シュレーディンガー方程式

量子力学の波動関数が時間とともにどう変化するかを記述する基本方程式で、量子力学全体の土台です。

シュレーディンガー方程式は量子力学の基本方程式で、古典力学におけるニュートンの第2法則に相当する役割を果たします。量子系の波動関数 ψ\psi が時間とともにどう変化するかを教えてくれます。

iℏ∂ψ(x,t)∂t=−ℏ22m∂2ψ(x,t)∂x2+V(x)ψ(x,t)i\hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2} + V(x)\psi(x,t)

左辺は波動関数の時間発展を表します。右辺は ψ\psi に作用するハミルトニアン演算子 H^\hat{H} で、運動項(空間についての2階微分。ψ\psi が「波打つ」ほど運動エネルギーは大きい)とポテンシャル項 V(x)V(x) からなります。これは時間依存の方程式です。系が定常状態(エネルギー EE が確定)にあるときは、より簡単な時間に依存しない形 H^ψ=Eψ\hat H \psi = E\psi になります。

定義: 波動関数とその確率解釈

波動関数 ψ(x,t)\psi(x,t) は空間の各点で複素数の値をとり、直接観測することはできません。測定できるのは ∣ψ(x,t)∣2|\psi(x,t)|^2 で、時刻 tt に位置 xx で粒子が見つかる確率密度です(ボルンの解釈、1926年)。確率であるため、ψ\psi は規格化条件 ∫∣ψ∣2 dx=1\int |\psi|^2\,dx = 1 を満たさなければなりません。

これは上の方程式の本物の数値解(スプリットステップ・フーリエ法)であり、単なるアニメーションではありません。「障壁のトンネル効果」モードを試して、量子力学だけが予言する効果を見てみましょう。

トンネル効果:古典物理では禁じられた場所を粒子が越えるとき

エネルギー EE の粒子が、高さ V0>EV_0 > E の障壁に近づく場合を考えます。古典的には、障壁を乗り越えるエネルギーがないので跳ね返るはずです。しかしシュレーディンガー方程式の解では、波動関数は障壁の内部で急に消えるのではなく指数関数的に減衰するため、一部が反対側へ「染み出し」ます。つまり粒子は、「頂上を越える」だけのエネルギーを一度も持たなかったにもかかわらず、ゼロでない確率で障壁の向こう側に現れます。

トンネル効果は数学上の珍しい現象ではありません。放射性原子核のアルファ崩壊を説明し、走査型トンネル顕微鏡(STM)の動作原理であり、非常に小さなトランジスタでのリーク電流の原因でもあります。

例: なぜ巨視的な物体は目に見えるトンネル効果を起こさないのか

トンネル効果が本当なら、なぜ日常生活で転がるボールが壁を「すり抜ける」のを見ないのでしょうか。

解答

トンネル確率は、粒子の質量と障壁の厚さに対して指数関数的に減少します。ボール(質量は電子の約 102310^{23} 倍)の場合、この確率は実質的にゼロと言えるほど小さく、1回見るには宇宙の年齢よりはるかに長く待たなければなりません。この効果が顕著になるのは、電子や陽子程度の質量の粒子だけです。

時間に依存しないハミルトニアンでは、変数分離解は ψn(r,t)=ϕn(r)e−iEnt/ℏ\psi_n(\mathbf r,t)=\phi_n(\mathbf r)e^{-iE_nt/\hbar} です。波動関数の位相は変化しても確率密度 ∣ψn∣2|\psi_n|^2 は定常で、エネルギー固有状態の重ね合わせでは通常、密度が時間変化します。ハミルトニアンがスペクトルを定め、固有状態は境界条件を満たします。ポテンシャルが時間依存ならこの分離は一般に成立しませんが、時間発展方程式は状態のユニタリな変化を与えます。

クイックチェック

量子力学における量 ∣ψ(x,t)∣2|\psi(x,t)|^2 が表すものは:

量子トンネル効果により、粒子は:

参考文献

  1. Erwin Schrödinger (1926). Quantisierung als Eigenwertproblem
  2. David J. Griffiths (2018). Introduction to Quantum Mechanics