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量子力学

ハイゼンベルクの不確定性原理

状態の位置と運動量の広がりを同時に任意に小さくすることはできません: ΔxΔp ≥ ℏ/2。

不確定性原理は量子状態の構造的な限界であり、測定器の欠陥や観測者の不器用さではありません。同じ状態を準備した系で繰り返し測定したときの統計的な広がりを述べます。

Δx Δpx≥ℏ2,ΔA ΔB≥12∣⟨[A,B]⟩∣\Delta x\,\Delta p_x\geq\frac{\hbar}{2},\qquad \Delta A\,\Delta B\geq\frac12\left|\langle[A,B]\rangle\right|

定義: 標準偏差

観測量 AA の不確定性は標準偏差 ΔA=⟨A2⟩−⟨A⟩2\Delta A=\sqrt{\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2} です。一般式には交換子 [A,B]=AB−BA[A,B]=AB-BA を用います。[x,px]=iℏ[x,p_x]=i\hbar から位置と運動量の不等式が得られます。

ガウス波束の幅を調整しましょう。位置を狭く局在させるほど波数・運動量分布が広がり、ΔxΔp ≥ ℏ/2 と整合します。

数学的な由来

任意の二つの観測量について一般式は ΔAΔB≥∣⟨[A,B]⟩∣/2\Delta A\Delta B\geq |\langle[A,B]\rangle|/2 です。可換な演算子にはこの式から正の下限は生じませんが、位置と運動量は非可換なので下限があります。最小不確定ガウス状態は x,px,p の境界を飽和します。

例: 波長と運動量

電子波束の Δx=0.10\Delta x=0.10 nm のとき、Δpx\Delta p_x の最小値を求めなさい。

解答

Δpx≥ℏ/(2Δx)=1.055×10−34/(2.0×10−10)=5.28×10−25\Delta p_x\geq\hbar/(2\Delta x)=1.055\times10^{-34}/(2.0\times10^{-10})=5.28\times10^{-25} kg·m/s です。

位置の標準偏差が σx\sigma_x のガウス波束を考えます。フーリエ解析によれば、波束を狭めると運動量の広がりが増し、ガウス状態では ΔxΔp=ℏ/2\Delta x\Delta p=\hbar/2 が成り立ちます。波束を平行移動すれば、標準偏差の積を変えずに平均値 ⟨x⟩\langle x\rangle と ⟨p⟩\langle p\rangle を任意にできます。これは装置の欠陥ではなく状態の性質です。一般に演算子 A,BA,B に対するロバートソン不等式は ΔAΔB≥∣⟨[A,B]⟩∣/2\Delta A\Delta B\ge |\langle[A,B]\rangle|/2 です。

クイックチェック

位置と運動量の不確定性積の標準的な下限は何ですか。

波束を位置でより局在させると、通常、運動量の広がりはどうなりますか。

参考文献

  1. David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics