流体力学

ベルヌーイの式

定常流に対するエネルギー保存則:流体が速いところでは圧力が低くなります。

ベルヌーイの式は、流線に沿った、定常・非粘性・非圧縮性の流体の流れに適用したエネルギー保存則です。同じ流線上の異なる点における流体の圧力、速度、高さを関係づけます。

p + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{constant along a streamline}

$p$ は静圧、 $\tfrac{1}{2}\rho v^2$ は「動圧」(運動する流体の運動エネルギーに関係)、 $\rho g h$ は「重力による圧力」(高さ $h$ による位置エネルギーに関係)と考えられます。粘性摩擦を無視すれば、これら3つの項の和は流線に沿って一定です。

ベンチュリ管のくびれを狭めると、速度が上がった瞬間にその場所の圧力が下がるのが見えます。ベルヌーイの式の予測どおりです。

連続の式とのつながり

ベルヌーイの式は通常、連続の式 $A_1 v_1 = A_2 v_2$ (流量保存。非圧縮性流体では質量保存の帰結)とセットで使われます:管の断面積 $A$ が小さくなると、流量を一定に保つために速度 $v$ が増加しなければなりません。水平な管( $h$ 一定)で両者を組み合わせると:

p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2 \quad\Rightarrow\quad v_2 > v_1 \implies p_2 < p_1

だから、断面積が小さく速度が大きいところでは圧力が低くなります。この効果は流量の測定(ベンチュリ管)、飛行機の翼の揚力の発生、高速走行中の車のカーテンが外へ吸い出される現象の説明に使われます。

定義: 流線

流線とは、ある瞬間に、各点での接線がその点での流体の速度の向きと一致する曲線です。定常流(時間的に変化しない流れ)では、流線は流体粒子が実際にたどる経路と一致します。

例: ベンチュリ管のくびれ部の圧力

水が水平な管を流れており、入口の面積はくびれ部の面積の2倍です( $A_1 = 2A_2$ )。入口の圧力が $p_1 = 200$ kPa、入口の速度が $v_1 = 2$ m/s のとき、くびれ部の圧力を求めなさい(ρ = 1000 kg/m³)。

解答

連続の式より $v_2 = v_1 A_1/A_2 = 2 \times 2 = 4$ m/s。ベルヌーイの式より $p_2 = p_1 + \tfrac12\rho(v_1^2 - v_2^2) = 200000 + 0.5 \times 1000 \times (4 - 16) = 200000 - 6000 = 194{,}000$ Pa。

クイックチェック

例: 水槽から流出する水の速さ

小さな出口が自由表面より $h=1.25,mathrm m$ 下にあります。大気に開いた大きな水槽では表面速度は無視でき、表面と出口の圧力はいずれも大気圧です。ベルヌーイの式から $v=sqrt{2gh}=sqrt{2(9.8)(1.25)}approx4.95,mathrm{m/s}$ となります。これは理想値で、粘性、出口での縮流、水槽の有限サイズにより実際の速度は小さくなります。

水平な管で断面積が小さくなると、その場所の流体の圧力は:

ベルヌーイの式は本質的にどの保存則の応用ですか。

参考文献

Daniel Bernoulli (1738). Hydrodynamica
Kundu, Cohen, Dowling (2015). Fluid Mechanics