流体力学

連続の式

質量保存により、定常流の各断面を通る質量流量は等しくなります。

定常流では管の区間に液体が蓄積せず、毎秒流入する質量と流出する質量は等しくなります。非圧縮性液体では管が狭いほど平均流速が大きくなります。

\dot m=\rho Av=\text{constant},\qquad A_1v_1=A_2v_2\quad(\rho=\text{constant})

定義: 流量

体積流量 $Q=Av$ の単位はm³/s、質量流量 $\dot m=\rho Av$ の単位はkg/sです。 $v$ は断面に垂直な平均流速です。一般形は密度が変化する圧縮性流体にも適用できます。

流量を一定に保ったまま、狭い部分で粒子が速く進む様子を観察します。

細くなる管

密度一定なら $Q=Av$ が保存されます。管の半径が半分になると面積は4分の1となり、平均流速は4倍です。流線が密になることは速度の増加を示し、流量が増えたことを意味しません。

圧縮性流れ

圧縮性気体では管に沿って密度が変化するため、正しい関係は $\rho Av=\mathrm{constant}$ です。単純な $Av=\mathrm{constant}$ は密度一定とみなせる場合に限り使えます。

例: ノズル内の速度

直径4 cmの管を0.50 m/sで流れる水が、直径2 cmのノズルに入ります。ノズル内の平均速度を求めましょう。

解答

$A_1/A_2=(4/2)^2=4$ より、 $v_2=v_1A_1/A_2=2.0\,\mathrm{m/s}$ です。

クイックチェック

例: 細くなるノズルの流量

水が直径 $4.0,mathrm{cm}$ の管から直径 $2.0,mathrm{cm}$ のノズルへ流れます。面積は直径の二乗に比例するので $A_2=A_1/4$ です。入口の平均速度が $0.50,mathrm{m/s}$ なら、体積流量保存より $v_2=(A_1/A_2)v_1=2.0,mathrm{m/s}$ です。 $Q=A_1v_1=A_2v_2$ は一定で、断面積の減少により速度が増し、流体が生まれるわけではありません。

非圧縮性流体の円管で半径が半分になると、流量一定のため平均流速はどうなりますか。

定常圧縮性気体流で保存される量はどれですか。

参考文献

Frank M. White (2016). Fluid Mechanics