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相対性理論

時間の遅れとローレンツ収縮

移動する時計の経過時間は二度の出会いの間で短くなり、物体は運動方向に収縮します。

固有時間 Δτ は二つの事象が同じ場所で起こる系（時計と共に動く系）で測る時間です。時計が動いて見える観測者は Δt=γΔτ を測ります。

Δt=γΔτ,L=L0γ,γ=11−v2/c2\Delta t=γ\Delta\tau,\qquad L=\frac{L_0}{γ},\qquad γ=\frac{1}{\sqrt{1−v^2/c^2}}

定義: 定義

固有時間 Δτ は事象に同行する時計で測り、固有長 L0L_0 は物体の静止系で測ります。Δt と L は時計や物体が動いて見える系で測ります。

パラメーターを調整して結果を確認し、キャンバスをドラッグして視点を回転できます。

物理的意味

長さの収縮は運動方向だけに起こり、垂直方向の寸法は変わりません。両端は同じ系で同時に測定します。

例: 定量例題

v=0.8c で動く時計の固有時間は Δτ=10 s、同じ速度の棒の固有長は L₀=5 m です。Δt と L を求めます。

解答

γ=5/3 なので、Δt≈16.7 s、L=3.0 m です。

例: 運動する時計と棒

固有周期 1.0 s1.0\,s の時計が実験室に対して v=0.6cv=0.6c で動きます。実験室での周期はいくらでしょうか。固有長 10 m10\,m の棒が同じ速度で動くとき、測定長はいくらでしょうか。

解答

γ=1.25γ=1.25 です。実験室での周期は 1.25 s1.25\,s、運動方向に沿った長さは L=L0/γ=8.0 mL=L_0/γ=8.0\,m です。時間間隔は伸び、長さは縮みます。

運動物体の長さを測るには、測定系で両端の位置を同時に記録します。異なる時刻の端点はその系での長さを定めません。固有長 L0L_0 は物体の静止系で測り、運動系では L=L0/γL=L_0/γ です。時計の固有時間は同じ世界線上の出会いの間で測り、実験室時間は系全体に同期時計を置いて測ります。測定手順を区別すれば見かけの矛盾を避けられます。

両効果は実験で確かめられています。航空機や衛星の原子時計は地上時計とずれ、大気中のミューオンは時間の遅れにより地球系でより長く生存します。

クイックチェック

固有長 L₀=6 m の棒が γ=2 で動くとき、運動方向の長さはいくつですか。

ローレンツ変換で不変な量はどれですか。

参考文献

  1. Edwin F. Taylor, John Archibald Wheeler (1992). Spacetime Physics
  2. Robert Resnick (1968). Introduction to Special Relativity