量子力学

角運動量とスピン

量子角運動量の代数が測定値を定めます。シュテルン＝ゲルラッハ実験は量子化と角運動量結合を示します。

軌道角運動量 $\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p$ と固有スピン $\mathbf S$ は同じ交換関係に従います。全角運動量 $\mathbf J=\mathbf L+\mathbf S$ は保存量と原子準位構造を支配します。

[J_i,J_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}J_k,\quad J^2= j(j+1)\hbar^2,\quad J_z=m\hbar

定義: 量子化された値

量子数 $j=0,1/2,1,\ldots$ に対して $J_z$ は $m\hbar$ をとり、 $m=-j,-j+1,\ldots,j$ です。 $[J_x,J_y]=i\hbar J_z$ のため、異なる成分を同時に確定できません。

スピン方向と分析軸を設定し、二つの出力確率とビーム分離を調べます。

全角運動量と結合

$j_1,j_2$ を結合すると全角運動量は $j=|j_1-j_2|,\ldots,j_1+j_2$ をとります。 $s=1/2$ の電子では $l>0$ のときスピン軌道相互作用により $j=l\pm1/2$ の準位が分裂します。

例: 例：スピン1/2ビームのスポット数

z方向に勾配をもつ磁石を通る銀原子ビームは $m_s=+1/2,-1/2$ に対応する二つのスポットを作ります。z偏極なら一方だけ、x偏極なら等確率です。

解答

$|+x\rangle=(|+z\rangle+|-z\rangle)/\sqrt2$ なので、 $S_z$ の各測定結果は確率 $1/2$ です。

角運動量演算子は $[L_i,L_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}L_k$ を満たすため、全成分を同時に確定できません。通常は $L^2,L_z$ を同時に指定し、固有値は $\hbar^2l(l+1),\hbar m$ 、ただし $m=-l,\ldots,l$ です。スピンは同じ代数に従いますが軌道運動ではなく、スピン1/2では $S^2=3\hbar^2/4$ , $S_z=\pm\hbar/2$ です。二つの角運動量の合成では $j=|j_1-j_2|$ から $j_1+j_2$ までの整数刻みが許され、原子スペクトルやスピン軌道相互作用に有用です。

クイックチェック

スピン j の J_z は何個の m 値をとりますか。

j=1/2 のとき J_z の m は何ですか。

参考文献

J. J. Sakurai, Jim Napolitano (2020). Modern Quantum Mechanics