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量子力学

ディラック形式：量子状態と二準位系

ブラケット記法は状態と測定を簡潔に表します。二準位系ではコヒーレントな時間発展とラビ振動が明瞭に現れます。

ディラック記法では ket ∣ψ⟩|\psi\rangle は状態ベクトル、bra ⟨ψ∣\langle\psi| はその双対、内積 ⟨ϕ∣ψ⟩\langle\phi|\psi\rangle は確率振幅です。波動関数表現にも有限次元ベクトルにも使えます。

iℏddt∣ψ(t)⟩=H∣ψ(t)⟩,P(a)=∣⟨a∣ψ⟩∣2i\hbar\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle,\qquad P(a)=|\langle a|\psi\rangle|^2

定義: 二準位系

二準位系の基底を ∣0⟩,∣1⟩|0\rangle,|1\rangle とします。共鳴ハミルトニアン H=ℏΩσx/2H=\hbar\Omega\sigma_x/2 の下で、初期状態 ∣0⟩|0\rangle は cos⁡(Ωt/2)∣0⟩−isin⁡(Ωt/2)∣1⟩\cos(\Omega t/2)|0\rangle-i\sin(\Omega t/2)|1\rangle となり、∣1⟩|1\rangle の確率は sin⁡2(Ωt/2)\sin^2(\Omega t/2) です。

結合と離調を変え、時間に対する遷移確率を観察します。

行列表現

∣0⟩,∣1⟩|0\rangle,|1\rangle 基底では ket は二成分列ベクトル、演算子は行列です。駆動系のハミルトニアンは H=ℏ(Δσz+Ωσx)/2H=\hbar(\Delta\sigma_z+\Omega\sigma_x)/2 と書けます。離調 Δ\Delta は回転軸を傾け、一般化ラビ周波数は ΩR=Ω2+Δ2\Omega_R=\sqrt{\Omega^2+\Delta^2} です。

例: 例：遷移確率

共鳴時、t=π/(2Ω)t=\pi/(2\Omega) では初期状態 ∣0⟩|0\rangle が ∣1⟩|1\rangle にある確率は 1/21/2 です。t=π/Ωt=\pi/\Omega のパルスなら完全に ∣1⟩|1\rangle へ移ります。

解答

P1=sin⁡2(Ωt/2)P_1=\sin^2(\Omega t/2) に Ωt/2=π/4\Omega t/2=\pi/4 を代入すると P1=1/2P_1=1/2 です。

ディラック形式では状態はヒルベルト空間のベクトル、観測量はエルミート演算子です。規格化状態 ∣ψ⟩|\psi\rangle の期待値は ⟨A⟩=⟨ψ∣A∣ψ⟩\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle で、AA の固有基底への展開から測定確率が得られます。テンソル積は複合系を、密度行列は混合状態や環境を無視した部分系を記述します。ブラケット記法は簡潔ですが、演算子は一般に非可換なので順序が重要です。

クイックチェック

共鳴時、H=ℏΩσx/2 の遷移確率はどう変化しますか。

共鳴時、初期状態を完全に他方へ移すパルス時間は何ですか。

参考文献

  1. David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics