Physic Labs

量子力学

多体系と同種粒子

交換対称性は多粒子状態の一部です。ボース粒子の波動関数は対称、フェルミ粒子は反対称で、パウリ原理につながります。

同種粒子には物理的に意味のある個別ラベルがありません。二粒子を交換すると多粒子状態は高々位相だけ変わり、三次元ではボソンの +1+1 とフェルミオンの −1-1 が知られています。

ΨB(1,2)=+ΨB(2,1),ΨF(1,2)=−ΨF(2,1)\Psi_{B}(1,2)=+\Psi_{B}(2,1),\qquad \Psi_{F}(1,2)=-\Psi_{F}(2,1)

定義: 二つのフェルミ粒子の状態

直交規格化されたスピン軌道 a,ba,b に対するフェルミ状態はスレーター行列式 ∣a,b⟩F=(∣a(1)b(2)⟩−∣b(1)a(2)⟩)/2|a,b\rangle_F=(|a(1)b(2)\rangle-|b(1)a(2)\rangle)/\sqrt2 です。a=ba=b ならゼロとなり、同じスピン軌道を二つのフェルミ粒子が占めることはできません。

二つの波束が近づくときのボソンとフェルミオンの確率密度を比べ、反対称な節を観察します。

ボソン、フェルミオン、多体系

交換対称性は座標とスピンを合わせた全状態に適用されます。二電子では全状態が反対称であり、反対称なスピン一重項は対称な空間状態と、対称な三重項は反対称な空間状態と組み合わさります。

例: 例：ヘリウムの基底状態

独立粒子近似では、ヘリウムの二電子は空間軌道 1s1s を共有します。全状態を反対称にするため、スピンは一重項 S=0S=0、(∣↑↓⟩−∣↓↑⟩)/2(|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle)/\sqrt2 です。

解答

空間部分が交換に対して対称なので、積全体が符号反転するにはスピン部分が反対称でなければなりません。

相互作用する粒子のハミルトニアンは通常、一粒子運動エネルギーと対ポテンシャル V(ri−rj)V(\mathbf r_i-\mathbf r_j) から成ります。基底状態は独立状態の積とは限らず、相関により一粒子密度だけでは決まらない観測量が生じます。平均場近似では各粒子は他粒子が作る有効ポテンシャル中を動き、残余相関には別の方法が必要です。フェルミ粒子では反対称性により低温でも縮退圧が生じます。これらは量子力学を凝縮系、極低温原子、原子核物理につなぎます。

クイックチェック

同種フェルミ粒子二つの波動関数は交換でどう変わりますか。

二つの電子が同じ空間軌道を占められるのはいつですか。

参考文献

  1. J. J. Sakurai, Jim Napolitano (2020). Modern Quantum Mechanics