Physic Labs

量子力学

量子摂動論

摂動論は、解ける問題に近いハミルトニアンのエネルギー準位や固有状態の変化を見積もります。

現実的なハミルトニアンの多くは厳密に解けません。スペクトルが既知の H0H_0 と小さな補正 VV を用いて H=H0+λVH=H_0+\lambda V と分け、無次元パラメータ λ\lambda で展開します。

En=En(0)+λ⟨n∣V∣n⟩+λ2∑m≠n∣⟨m∣V∣n⟩∣2En(0)−Em(0)+O(λ3)E_n=E_n^{(0)}+\lambda\langle n|V|n\rangle+\lambda^2\sum_{m\ne n}\frac{|\langle m|V|n\rangle|^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}+O(\lambda^3)

定義: 一次補正

非縮退状態 ∣n⟩|n\rangle の一次エネルギー補正は ΔEn(1)=λ⟨n∣V∣n⟩\Delta E_n^{(1)}=\lambda\langle n|V|n\rangle です。固有状態も変化し、他状態の混合係数は ⟨m∣V∣n⟩/(En(0)−Em(0))\langle m|V|n\rangle/(E_n^{(0)}-E_m^{(0)}) に比例します。分母が小さい場合は縮退摂動論などが必要です。

二準位系の結合摂動を徐々に強め、エネルギー準位を追跡します。

縮退とエネルギースペクトル

複数状態が同じ未摂動エネルギーをもつ場合、縮退部分空間内で VV を先に対角化します。間隔 δ\delta の二準位を gg が結合すると固有値の分裂は 2(δ/2)2+∣g∣22\sqrt{(\delta/2)^2+|g|^2} で、共鳴時のギャップは 2∣g∣2|g| です。

例: 例：箱型ポテンシャルの準位シフト

無限井戸内で一定の摂動 V(x)=V0V(x)=V_0 の期待値は V0V_0 です。一次では全準位が λV0\lambda V_0 だけ移動し、準位間隔は変わりません。

解答

ΔEn(1)=λ⟨n∣V0∣n⟩\Delta E_n^{(1)}=\lambda\langle n|V_0|n\rangle と規格化 ⟨n∣n⟩=1\langle n|n\rangle=1 から、ΔEn(1)=λV0\Delta E_n^{(1)}=\lambda V_0 です。

一次の非縮退エネルギー補正は En(1)=⟨n∣V∣n⟩E_n^{(1)}=\langle n|V|n\rangle です。二次では他の状態が En(2)=∑m≠n∣Vmn∣2/(En(0)−Em(0))E_n^{(2)}=\sum_{m\ne n}|V_{mn}|^2/(E_n^{(0)}-E_m^{(0)}) に寄与します。分母から、縮退近傍で小さな摂動が大きな効果を持つ理由が分かります。その場合は縮退部分空間内で先に VV を対角化します。状態補正にも一次の混合が含まれます。これらの式は十分弱い摂動と孤立状態を仮定し、連続スペクトルには異なる規格化の扱いが必要です。

クイックチェック

非縮退準位の一次エネルギー補正は何ですか。

縮退準位の摂動はどのように扱いますか。

参考文献

  1. David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics