量子力学

量子散乱

散乱では入射波と出射振幅の角度分布を結び付けます。シュレーディンガー方程式とボルン近似で相互作用ポテンシャルの効果を予測します。

弾性散乱では、遠方で一定エネルギーをもつ粒子がポテンシャル $V(r)$ に遭遇し、出射方向で検出されます。基本的な観測量は微分断面積 $d\sigma/d\Omega$ であり、各粒子の古典軌道ではありません。

\psi(\mathbf r)\underset{r\to\infty}{\sim}e^{ikz}+f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r},\qquad\frac{d\sigma}{d\Omega}=|f(\theta)|^2

定義: 波束と断面積

波束は有限の運動量幅をもち、理想平面波より実際のビームに近いモデルです。波束中心が散乱領域に近づき、偏向した振幅が遠方の確率分布を作ります。断面積の単位は面積で、入射流束あたり・立体角あたりの散乱確率を表します。

波束と湯川・クーロンポテンシャルを調整し、確率密度、干渉、散乱方向を観察します。

ボルン近似

ポテンシャルが運動エネルギーに比べて弱ければ、リップマン＝シュウィンガー積分の散乱波を入射波で置き換えられます。一次ボルン振幅は運動量移行 $\mathbf q=\mathbf k_f-\mathbf k_i$ における $V$ のフーリエ変換に比例します。低エネルギー、強いポテンシャル、共鳴付近では破綻し得ます。

例: 例：クーロン散乱

遮蔽のないクーロンポテンシャルは長距離で、ラザフォード断面積は前方に強く集中します。湯川ポテンシャル $V(r)\propto e^{-r/a}/r$ は遮蔽長 $a$ を導入し、実効的な到達距離を有限にします。

解答

因子 $e^{-r/a}$ は $a$ より十分大きい距離で相互作用を抑えます。 $a\to\infty$ の極限で遮蔽のないクーロンポテンシャルに戻ります。

中心力ポテンシャルによる弾性散乱では、振幅を部分波展開 $f(\theta)=\sum_l(2l+1)f_lP_l(\cos\theta)$ で表せます。各チャネルは位相差 $\delta_l$ をもち、実ポテンシャルでは $f_l=e^{i\delta_l}\sin\delta_l/k$ です。全断面積は各チャネルの寄与の和で、S行列のユニタリ性を通して確率保存を表します。低エネルギーでは大きな角運動量のチャネルは遠心力障壁で抑制され、s波が支配的になり得ます。エネルギー依存の断面積から散乱長や共鳴構造を調べられます。

クイックチェック

散乱の微分断面積は何に比例しますか。

湯川ポテンシャルは遮蔽のないクーロンと何が違いますか。

参考文献

Eugen Merzbacher (1998). Quantum Mechanics