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量子力学

量子調和振動子

量子調和振動子の準位は等間隔の En=ℏω(n+1/2)E_n=\hbar\omega(n+1/2) で、零点エネルギーを持ちます。

量子ばね振動子は厳密に解ける模型で、分子や結晶格子などの平衡点近傍の振動を記述します。ポテンシャルの底で静止する古典振動子と異なり、基底状態にも量子揺らぎがあります。

V(x)=12mω2x2,En=ℏω(n+12),n=0,1,2,...V(x)=\frac12m\omega^2x^2,\qquad E_n=\hbar\omega\left(n+\frac12\right),\quad n=0,1,2,...

定義: 零点エネルギー

最低準位はゼロでなく E0=ℏω/2E_0=\hbar\omega/2 です。基底状態の波動関数はガウス形で、Δx=ℏ/(2mω)\Delta x=\sqrt{\hbar/(2m\omega)}、Δp=mℏω/2\Delta p=\sqrt{m\hbar\omega/2} となり、その積は ℏ/2\hbar/2 に達します。

nn を変えて ∣ψn∣2|\psi_n|^2 と等間隔のエネルギーを観察しましょう。零点運動によりポテンシャル極小でも密度は有限です。

励起状態

固有関数はエルミート多項式とガウス関数の積です。第 nn 状態には nn 個の節があり、節の両側に確率が分布します。等間隔スペクトルをもつため、ほぼ放物線形のポテンシャルを展開する基底として有用です。

例: 準位間隔

周波数 ν=5.0×1013\nu=5.0\times10^{13} Hz の振動子について、隣接準位間隔 En+1−EnE_{n+1}-E_n を求めなさい。

解答

ΔE=ℏω=hν=6.626×10−34×5.0×1013=3.31×10−20\Delta E=\hbar\omega=h\nu=6.626\times10^{-34}\times5.0\times10^{13}=3.31\times10^{-20} J =0.207=0.207 eV です。

昇降演算子 a,a†a,a^\dagger を用いると、微分方程式を直接解かずにスペクトルを構成できます。これらは [a,a†]=1[a,a^\dagger]=1 を満たし、H=ℏω(a†a+1/2)H=\hbar\omega(a^\dagger a+1/2) です。基底状態は aa で消えるため、エネルギーは ℏω/2\hbar\omega/2 です。励起状態は a†a^\dagger を繰り返し作用させて得られます。基底状態の確率密度はガウス形で、高い状態には節があります。この模型はポテンシャル極小付近の微小振動を近似し、結晶中のフォノンの基礎になります。

クイックチェック

量子振動子の基底エネルギーは何ですか。

隣接する準位間隔は nn にどう依存しますか。

参考文献

  1. David J. Griffiths, Darrell F. Schroeter (2018). Introduction to Quantum Mechanics