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解析力学

オイラー＝ラグランジュ方程式

摩擦のない振り子でオイラー–ラグランジュ方程式 ddt∂L∂θ˙−∂L∂θ=0\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}-\frac{\partial L}{\partial\theta}=0 の働きを見ます。θ¨=−(g/l)sin⁡θ\ddot\theta=-(g/l)\sin\theta と位相図上のエネルギー保存を確かめます。

大学

器具

  • 振り子アニメーションと位相平面プロット (θ,θ˙)(\theta,\dot\theta)
  • スライダー「放出角 θ₀」
  • スライダー「長さ l」
  • 位相図上のエネルギーと等エネルギー等高線の表示

手順

  1. 振り子を放す

    放出角 θ₀ を小さく（〜10° 以下）設定して動かします。位相平面の軌跡はほぼ楕円です — sin⁡θ≈θ\sin\theta\approx\theta の小角度領域で ω=g/l\omega=\sqrt{g/l} の調和振動になります。

  2. エネルギー保存を確かめる

    軌道が一本の等エネルギー等高線（青緑線）に沿うのを見ます。ラグランジアンが時間を陽に含まないため E=12ml2θ˙2+mgl(1−cos⁡θ)E=\tfrac12ml^2\dot\theta^2+mgl(1-\cos\theta) は一定です。一時停止して軌跡と等高線を比較しましょう。

  3. 大きな角度へ

    θ₀ を 90° へ、さらにそれ以上へ上げます。位相曲線は楕円から歪み、真の復元加速度 −(g/l)sin⁡θ-(g/l)\sin\theta が大 θ で線形より弱いため周期が伸びます。二つの振幅で周期を測って比較しましょう。

  4. 長さを変える

    長さスライダー l を動かし、計時する前に T=2πl/gT=2\pi\sqrt{l/g} から新しい周期を予測します — l を 4 倍にすれば T は 2 倍のはずです。エネルギー準位と軌道形状が l に応じてスケールすることを位相図で確認します。

シミュレーション

実験の歴史

レオンハルト・オイラーは1740年代に変分法を発展させ、ベルヌーイ家の最速降下問題とピエール・ド・モーペルテュイの最小作用原理（1746年）を引き継ぎました。まだ十代のジョゼフ＝ルイ・ラグランジュは1755年にオイラーへ手紙を書き、後のオイラー–ラグランジュ方程式となる系統的な処方を示しました。 ラグランジュの『解析力学』（1788年）は「図なしで」この計画を誇らしげに実行しました。座標 qiq_i を選び L=T−VL=T-V を作れば、運動方程式は振り子でも惑星でも場でも自動的に得られます。この定式化は後にファインマンの経路積分を通じて量子力学に、最小作用原理を通じて場の理論に不可欠となりました。

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