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Mécanique analytique

Équations d'Euler-Lagrange

Utilisez un pendule sans frottement pour voir l'équation d'Euler–Lagrange ddt∂L∂θ˙−∂L∂θ=0\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot\theta}-\frac{\partial L}{\partial\theta}=0 à l'œuvre : vérifiez θ¨=−(g/l)sin⁡θ\ddot\theta=-(g/l)\sin\theta et la conservation de l'énergie sur le portrait de phase.

Licence

Matériel

  • Animation du pendule et portrait de phase $(\theta,\dot\theta)$
  • Curseur « angle de lâcher θ₀ »
  • Curseur « longueur l »
  • Affichage de l'énergie et des lignes d'iso-énergie sur le graphe de phase

Protocole

  1. Lâcher le pendule

    Réglez un petit angle de lâcher θ₀ (sous ~10°) et lancez. La trace du plan de phase est quasi elliptique — régime des petits angles où sin⁡θ≈θ\sin\theta\approx\theta donne un mouvement harmonique de pulsation ω=g/l\omega=\sqrt{g/l}.

  2. Vérifier la conservation de l'énergie

    Observez l'orbite suivre une ligne d'iso-énergie (tracé bleu-vert) : E=12ml2θ˙2+mgl(1−cos⁡θ)E=\tfrac12ml^2\dot\theta^2+mgl(1-\cos\theta) reste constante car le lagrangien ne dépend pas explicitement du temps. Mettez en pause et comparez la trace au contour.

  3. Pousser aux grands angles

    Montez θ₀ vers 90° et au-delà : la courbe de phase se déforme loin de l'ellipse, et la période s'allonge car l'accélération de rappel réelle −(g/l)sin⁡θ-(g/l)\sin\theta est plus faible que linéaire aux grands θ. Mesurez la période à deux amplitudes et comparez.

  4. Changer la longueur

    Balayez le curseur de longueur l et prédisez la nouvelle période par T=2πl/gT=2\pi\sqrt{l/g} avant de la chronométrer — quadrupler l doit doubler T. Confirmez sur le graphe de phase que le niveau d'énergie et la forme de l'orbite se remettent à l'échelle avec l.

Simulation

Histoire de l’expérience

Leonhard Euler développa le calcul des variations dans les années 1740, prolongeant les problèmes de brachistochrone des Bernoulli et le principe de moindre action de Pierre de Maupertuis (1746). Joseph-Louis Lagrange, encore adolescent, écrivit à Euler en 1755 avec la recette systématique devenue les équations d'Euler–Lagrange. La Mécanique analytique de Lagrange (1788) accomplit ce programme, fièrement « sans figures » : choisir des coordonnées qiq_i, former L=T−VL=T-V, et les équations du mouvement tombent pour tout système — pendule, planète ou champ. La formulation s'avéra ensuite essentielle à la mécanique quantique via les intégrales de chemin de Feynman et à la théorie des champs via le principe de moindre action.

Physiciens associés

Isaac NewtonLeonhard EulerJoseph-Louis LagrangePierre-Louis Moreau de Maupertuis

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