Mécanique quantique

L'oscillateur harmonique quantique

Observez les états stationnaires de l'oscillateur quantique : densité de probabilité et position du niveau d'énergie en fonction du nombre quantique n. Vérifiez le spectre équidistant $E_n = \hbar\omega\left(n + \tfrac{1}{2}\right)$ et l'énergie de point zéro non nulle.

Licence

Matériel

Canvas 3D traçant la densité de probabilité et les niveaux d'énergie, pivotable par glisser ou touches fléchées
Curseur «Số lượng tử n» choisissant l'état propre de n = 0 à n = 5
Ligne de lecture affichant «Eₙ/ℏω» et l'écart «Eₙ₊₁ − Eₙ = ℏω»

Protocole

Observer l'état fondamental n = 0
Réglez «Số lượng tử n» = 0 : le canvas montre une densité de probabilité en cloche sans nœud, et la lecture indique «Eₙ/ℏω = 0.5». Notez l'énergie de point zéro $E_0 = \tfrac{1}{2}\hbar\omega \neq 0$ — la particule ne peut être au repos dans le puits parabolique.
Parcourir les niveaux excités et vérifier l'équidistance
Faites passer «Số lượng tử n» par 0 → 1 → 2 → 3 → 4 → 5. À chaque pas relevez «Eₙ/ℏω» et vérifiez que deux niveaux consécutifs diffèrent de «Eₙ₊₁ − Eₙ = ℏω». Comparez à $E_n = \hbar\omega\left(n + \tfrac{1}{2}\right)$ : les lectures doivent valoir 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5.
Compter les nœuds et étudier la forme de la densité
À chaque niveau n, faites glisser le canvas pour pivoter la vue et comptez les nœuds (points de densité nulle) de la densité de probabilité : exactement n, avec des queues pénétrant la région classiquement interdite. Observez qu'à grand n la densité se concentre près des deux points de rebroussement, tendant vers la distribution classique.
Comparer à l'oscillateur classique et prédire
Avant de déplacer «Số lượng tử n» vers une nouvelle valeur, prédisez «Eₙ/ℏω» avec $E_n = \hbar\omega\left(n + \tfrac{1}{2}\right)$ puis vérifiez la lecture. Concluez : contrairement à l'oscillateur classique qui accepte toute énergie continue, l'oscillateur quantique n'admet que des niveaux équidistants d'énergie minimale $\hbar\omega/2$ .

Simulation

Histoire de l’expérience

Max Planck introduisit l'énergie quantifiée pour le problème du corps noir en 1900, en traitant des oscillateurs échangeant l'énergie par multiples de hν. Dans la mécanique quantique moderne, Erwin Schrödinger résolut en 1926 l'équation d'onde pour le potentiel parabolique et obtint des niveaux équidistants

E_n = \hbar\omega(n+1/2)

avec les fonctions propres d'Hermite–Gauss ; Werner Heisenberg avait dérivé le même spectre par la mécanique matricielle en 1925. Toujours en 1926, Paul Dirac développa la méthode des opérateurs de création–annihilation a† et a, ramenant tout le problème au comptage de l'indice n — outil fondateur de la théorie quantique des champs et de l'optique quantique. L'énergie de point zéro

\hbar\omega/2

est une conséquence directe du principe d'incertitude : une particule confinée dans un potentiel parabolique ne peut être au repos.

Physiciens associés

Max Planck Erwin Schrödinger Werner Heisenberg Paul Dirac

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