相対性理論

アインシュタインの公準とローレンツ変換

アインシュタインの二つの公準はローレンツ変換を導きます。物理法則はすべての慣性系で同じで、真空中の光速 c は一定です。

S′ が S に対して +x 方向へ速度 v で動くとします。真空中の光速を保つため座標変換は空間と時間を混ぜ、同じ事象でも位置と時刻は系によって異なります。

x′=γ(x−vt),\quad t′=γ\left(t−\frac{vx}{c^2}\right),\quad y′=y,\ z′=z,\quad γ=\frac{1}{\sqrt{1−v^2/c^2}}

定義: 定義

因子 $γ=(1−v^2/c^2)^{-1/2}$ は相対論効果の強さを表します。逆変換は v を −v に置き換えて得られます。ここでは x 方向に等速運動し、座標軸が平行な慣性系を仮定します。

パラメーターを調整して結果を確認し、キャンバスをドラッグして視点を回転できます。

物理的意味

光パルスが x=ct を満たすなら、変換後も x′=ct′ となり、光速 c は保たれます。v≪c では γ≈1 となり、ガリレイ運動学に近づきます。

例: 定量例題

S 系で x=300,000 km、t=2.0 s の事象があります。v=0.6c のとき S′ の座標を求めます。

解答

γ=1.25、c=300,000 km/s より、x′=−75,000 km、t′=1.75 s です。

ローレンツ変換は群構造をもち、同一直線上の二つのブーストは速度 $u=(v+w)/(1+vw/c^2)$ の一つのブーストに合成されます。分母が合成速度を $c$ 以下に保ち、 $v,w\ll c$ ではガリレイの加法に戻ります。

例: 相対論的速度合成

宇宙船が地球に対して $0.8c$ で進み、船に対して前方へ $0.7c$ で探査機を発射します。地球から見た探査機の速度をローレンツ速度合成則で求めます。

解答

$u=1.5c/1.56\approx0.962c$ です。合成速度は $c$ 未満で、光速不変と整合します。

二つの公準は同時性も制約します。ホームの両端への落雷がホーム系で同時でも、通過する列車系では同時とは限りません。時間変換の $-vx/c^2$ 項が同時性の相対性を表します。全慣性観測者に共通する絶対時間はなく、変換は各時間測定を同一にせず因果関係を保ちます。

v=0.6c のとき、ローレンツ因子 γ はいくつですか。

ローレンツ変換で不変な量はどれですか。