流体力学

ナビエ–ストークス方程式

ナビエ–ストークス方程式は、慣性、圧力、体積力、粘性応力を組み合わせ、粘性流体の運動量収支を記述します。

ナビエ–ストークス方程式は流体要素にニュートンの第2法則を適用します。構成則と仮定により形は異なります。以下は一様・非圧縮・粘度一定のニュートン流体に対する微分形です。

運動量収支

物質加速度は局所変化 $\partial_t\mathbf u$ と移流 $(\mathbf u\cdot\nabla)\mathbf u$ を含みます。低 $Re$ では粘性が速度勾配をならし、高 $Re$ では移流と慣性の重要性が増して流れの予測が難しくなりがちです。

標準解：クエット流

間隔 $H$ の平行平板で下板を固定し、上板を速度 $U$ で動かします。流れ方向の圧力勾配がないニュートン流体の定常層流速度分布は線形です。すべりなし境界条件により、流体速度は各壁面の速度に一致します。

クイックチェック

各項は物理的意味をもち、単位は体積当たりの力です。$ho Dmathbf u/Dt$ は慣性、$- abla p$ は圧力による力、$mu abla^2mathbf u$ は粘性による運動量拡散、$homathbf f$ は体積力です。非圧縮流体では $ablacdotmathbf u=0$ と組み合わせます。壁面でのすべりなし条件などの境界条件がなければ解は定まりません。