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相対性理論

ミンコフスキー時空

空間と時間は四次元時空を構成し、事象間の間隔はローレンツ変換で不変です。

事象は (ct,x,y,z) で表される時空の点です。時間成分と空間成分の符号が異なるため、通常の四次元ユークリッド距離ではありません。

s2=c2Δt2−Δx2−Δy2−Δz2s^2=c^2\Delta t^2−\Delta x^2−\Delta y^2−\Delta z^2

定義: 定義

二つの事象について、s2>0s^2>0 は時間的、s2=0s^2=0 は光的、s2<0s^2<0 は空間的です（ここに示す符号規約）。空間的に隔たる事象は光速以下では因果的に結べません。

パラメーターを調整して結果を確認し、キャンバスをドラッグして視点を回転できます。

物理的意味

質量をもつ物体の世界線は光円錐の内側、光線は円錐上にあります。光円錐はある事象が影響できる、または影響を受ける事象を区分します。

例: 定量例題

Δt=5 μs、Δx=900 m、他の空間変位はゼロ、c=300 m/μs として s² と間隔の種類を求めます。

解答

s2=(300⋅5)2−9002=1,440,000s²=(300·5)²−900²=1,440,000 m²>0 です。時間的間隔なので、同じ場所で二つの事象が起こる系が存在します。

各慣性観測者は時間軸と三つの空間軸を選びますが、ブーストは時空を座標へ分ける方法を変えるだけです。光円錐は事象を未来・過去・光速未満の信号では到達できない領域に分け、この因果構造は観測者に依存しません。

例: 時空間隔の分類

二つの事象の間隔は Δt=4 μs\Delta t=4\,\mu s、一軸方向の Δx=1,500 m\Delta x=1{,}500\,m です。c=300 m/μsc=300\,m/\mu s と s2=c2Δt2−Δx2s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2 を用いて因果的に結びつけられるか判定します。

解答

cΔt=1,200 mc\Delta t=1{,}200\,m なので s2=−810,000 m2<0s^2=-810{,}000\,m^2<0 です。空間的間隔であり、光速以下の信号では二つの事象を結べません。

座標 ctct は長さの単位をもち、この符号規約では ds2=−c2dt2+dx2+dy2+dz2ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2 と書けます。ローレンツ変換はこの二次形式を保つ双曲回転で、ユークリッド回転が x2+y2x^2+y^2 を保つのに似ています。符号の違いが光円錐を生み、時間的・空間的・光的間隔を区別します。

クイックチェック

二つの事象で s²=0 のとき、どのような間隔ですか。

ローレンツ変換で不変な量はどれですか。

参考文献

  1. Edwin F. Taylor, John Archibald Wheeler (1992). Spacetime Physics
  2. Robert Resnick (1968). Introduction to Special Relativity