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相対性理論

双子のパラドックス

往復旅行後、旅人は地上に残った双子より若いことがあります。二人の世界線は異なり、旅人は折り返し時に系を変えるためです。

旅人は速度 v で距離 D を進み、折り返して同じ速さで戻るとします。地球系の経過時間は 2D/v で、旅人の固有時間は各行程で短くなります。

ΔtTerre=2Dv,Δτvoyageur=2Dv1−v2c2\Delta t_{\mathrm{Terre}}=\frac{2D}{v},\qquad \Delta\tau_{\mathrm{voyageur}}=\frac{2D}{v}\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}

定義: 定義

固有時間は各人の世界線に沿って積み重なります。地球に残る双子はほぼ慣性運動ですが、旅人は折り返し時に加速し慣性系を切り替えるため対称ではありません。

パラメーターを調整して結果を確認し、キャンバスをドラッグして視点を回転できます。

物理的意味

加速度は短時間でも構いません。要点は「どちらが動くか」ではなく、二人の世界線が異なり、それぞれの固有時間の積分値が違うことです。瞬間的な折り返しは推進力や重力の詳細を省いた理想化です。

例: 定量例題

旅人が 0.8c で地球から 4 光年の地点まで行き、直ちに戻ります。地球と旅人の経過時間はいくらですか。

解答

地球では 10 年です。γ=5/3 より、折り返し時間を無視すると旅人は 6 年を経験します。

例: 往復旅行の固有時間

宇宙飛行士が地球から 44 光年の星まで 0.8c0.8c で進み、すぐに折り返して戻ります。加速時間を無視して地球と飛行士の時計を比較します。

解答

地球では 2(4)/0.8=102(4)/0.8=10 年です。γ=5/3γ=5/3 より、旅人の固有時間は合計 10/γ=610/γ=6 年です。同じ再会点を結ぶ世界線でも固有時間の長さが異なります。

二人の再会までに各人が経験する時間は、ローレンツ計量での世界線の長さです。地球系では τ=∫1−v2/c2 dt\tau=\int\sqrt{1-v^2/c^2}\,dt と表せます。同じ再会事象の間、地上の双子はほぼ一つの慣性経路を進み、旅人は折り返しで系を変えます。加速が短時間でも、二つの全世界線に沿う固有時間積分の比較が結論を与えます。

加速時間を無視するのは計算を簡単にするためだけです。年齢差は瞬間的な折り返しではなく、世界線全体に依存します。

クイックチェック

往復モデルで折り返し時に慣性系を変えるのは誰ですか。

ローレンツ変換で不変な量はどれですか。

参考文献

  1. Edwin F. Taylor, John Archibald Wheeler (1992). Spacetime Physics
  2. Robert Resnick (1968). Introduction to Special Relativity